| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3748
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. März, 2004 - 15:28: | 
|
Hi allerseits
Die Aufgabe LF 281 beschliesst (vorläufig) den
Reigen der Asymptotenprobleme.
Gegeben ist die Kurve c durch ihre Gleichung
in Polarkoordinaten
r = [1 – 3 (sin (phi)) ^ 2 ] / [ cos (phi) * cos(2*phi) ]
Man ermittle alle Asymptoten von c
und stelle ihre Gleichungen in cartesischen
Koordinaten x, y dar.
Die Polarachse ist, wie üblich, die x-Achse,
der Pol fällt mit dem Nullpunkt zusammen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1222
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. März, 2004 - 20:24: |
|
Hi megamath,
die kritischen Punkte sind:
phi1 = pi/2 , phi2 = pi/4 und phi3 = -pi/4
Wir haben also drei Asymptoten, mit den Steigungen:
tan(phi1) = inf
tan(phi2) = 1
tan(phi3) = -1
Mit der bekannten Formel für den Abstand vom Ursprung erhalten wir:
M(phi1) = 2
M(phi2) = 1/sqrt(8)
M(phi3) = -1/sqrt(8)
Damit haben wir dann:
x = 2 , eine senkrechte Asymptote
y = x + 0,5
y = -x - 0,5 zwei schiefe Asymptoten
In xy wirds viel deutlicher und interesanter!!
y^2 = (x^3 - x^2)/(x - 2)
Wir sehen die senkrechte Asymptote be x = 2, normal, nun führen wir Polynomdivision durch:
y^2 = x^2 + x + 2 + 4/(x - 2)
Dies ist eine Näherungshyperbel!! Mit Mittelpunkt in ( 0,5 / 0 )! Und deren Asymptoen sind unsere gesuchten für c!
Die Kurve sieht aus wie eine Hyperbel und eine Strophoide, faszinierend!!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3749
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. März, 2004 - 07:18: |
|
Hi Ferdi
Deine Ergebnisse sind richtig!
Die Asymptoten haben die Gleichungen
x = 2
y = x + ½
y = x - ½
Es ist immer reizvoll, bei der Lösung von
Aufgaben nach Möglichkeit verschiedene Methoden
anzuwenden.
Hier ist es nahe liegend, sofort auf rechtwinklige
Koordinaten zu transformieren.
Resultat:
y^2 = x^2 *(x-1) / (x-2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3750
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. März, 2004 - 07:37: |
|
Hi allerseits
Die schiefen Asymptoten findet man schnell
aus der Gleichung
y=(+-) x * sqrt [(x-1) / (x-2)]
Für den Quotienten [(x-1) / (x-2)] schreiben wir
für x > 2:
(1 - 1/x) / (1 – 2/x) =
(1 – 1/x) * (1 + 2 / x + 4 / x^2 +…..) =
1 + 1/x + 2/x^2 +……..
Mit Hilfe der Binomialentwicklung erhalten wir:
y=(+-) x * sqrt [(x-1) / (x-2)] =
(+-) x * [1 + 1/(2 x) +7/(8 x^2)+………..] =
(+-) * [x + ½ + 7/(8 x) +….]
Daraus ergeben sich die Gleichungen der schiefen Asymptoten
unmittelbar.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
