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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3744
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. März, 2004 - 15:46: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 280
Gegeben ist die Konchoide der hyperbolischen Spirale,
Gleichung in Polarkoordinatendarstellung
r = b / phi + s , (b, s > 0).
Man beweise, dass die Kurve genau einen Wendepunkt
besitzt; für das Argument phi = phi* dieses Punktes
gilt 0 < phi* < 1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1221
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. März, 2004 - 20:11: |
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Hi megamath,
diese Aufgabe ist schon etwas schwieriger. Man muss wohl am Ende argumentieren, aber ich finde nicht das richtige Argument, weder für eine Diskussion noch für phi*!
Also für einen Wendepunkt ist nötig:
r^2 + 2r'^2 - rr'' = 0
(b/p + s)^2 + 2(-b/p^2)^2 - (b/p + s)(2b/p^3) = 0
Das ist:
s^2p^3 + 2bsp^2 + b^2p - 2bs = 0
eine schöne Kubische Gleichung oder anders ausgedrückt:
r^2 - sr'' = 0
Wie kann man nun fortfahren??
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3746
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. März, 2004 - 20:48: |
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Hi Ferdi
Dein Ergebnis ist richtig!
Die kubische Gleichung ist iO.
Es ist nun nachzuweisen,dass diese Gleichung in p genau eine reelle Lösung hat,die zwischen
0 und 1 1iegt.
Man sieht an diesem Beispiel sehr schön,dass unerwartete Probleme beim Lösen einer
Aufgabe gelegentlich auftreten,
und dass man beim Schlussakkord alle Register ziehen muss!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1223
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. März, 2004 - 20:56: |
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Hi megamath,
also ich kann schon mal zeigen, das zwischen 0 und 1 eine Nullstelle liegt, aber jetzt fehlt der letzte Rest, nämlich das dies die einzige Nullstelle ist!!
Sei gegeben:
f(p) = s^2 p^3 + 2bs p^2 + b^2 p - 2bs
Nun gilt:
f(0) = -2bs < 0 (da b,s >0 laut Vorgabe)
f(1) = s^2 + b^2 >0 ( da beides hoch 2)
Da f(0) < 0 < f(1) , liegt in diesem Intervall eine Nullstelle!
Wie schaffe ich nun den Rest? Welcher Satz könnte helfen??
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3751
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. März, 2004 - 08:28: |
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Hi Ferdi
Hilfreich ist der bekannte Satz über kubische Gleichungen:
Die Gleichung
az^3 + bz^2 + cz + d = 0 führt mit der Substitution
z = x – b/(3a) auf die einfachere Gleichung in x:
x^3 + P x + Q = 0;
wir setzen D = (P/3)^3 + (Q/2)^2
Dann hat die gegebene Gleichung
eine reelle Lösung, falls D>0,
drei reelle Lösungen, von denen mindestens zwei übereinstimmen,
falls D=0,
drei verschiedene reelle Lösungen, falls D < 0.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3752
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. März, 2004 - 08:52: |
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Hi Ferdi
Empfehlung:
Rechne ein numerisches Beispiel durch, etwa b = s = 1.
Die Gleichung in z (z steht für p) lautet dann
z^3 + 2 z^2 + z – 2 = 0
Transformationsgleichung:
z = x - 2/3
Gleichung in x:
x^3 – 1/3 x – 56/27 = 0; D wird positiv!
einzige reelle Lösung
z ~ 0,69562
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1224
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. März, 2004 - 16:46: |
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Hi megamath,
auf diesen kleinen aber feinen Tipp bin ich nicht gekommen! Naja, jetzt bin ich mal wieder ein wenig schlauer!
Bis zu den nächsten Aufgaben!!
mfg |
