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Conny (Conny)
Moderator
Benutzername: Conny
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. März, 2004 - 10:46: | 
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Hallo
Bin gerade am Lernen und komme einfach nicht weiter mit der lieben Stetigkeit. Kann mir vielleicht jemand anschaulich erklären was stetig, lipschitzstetig und gleichmäßig stetig ist anhand der folgenden definitionen?
1)stetig(an einem Punkt a): Für alle epsilon>0 existiert delta>0, so dass |f(x)-f(a)|<epsilon mit |x-a|<delta. ich hätte gerne zwei Beispiele von unstetigen Funktionen wo diese Definition nich mehr hält.
2)Lipschitzstetig: Für alle x,x' element D: |f(x)-f(x')|<=L*|x-x'| (L>=0)
3)gleichmäßig stetig Für alle epsilon>0 existiert delta>0, so dass für alle x,x' aus D gilt: |x-x'|<delta => |f(x)-f(x')|<epsilon
Und wie ist das mit der Stetigkeit wenn die Funktion auf [0,oo] definiert ist? In meinen Beispielen ist der Definitionsbereich nämlich immer eingeschränkt auf ein kleines Intervall. Steh gerade total auf dem Schlauch wäre sehr froh wenn mir jemand helfen könnte.
Conny |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 824
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. März, 2004 - 15:03: |
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Zunächs mal zu den Beispielen:
1) f(x)=x für x<0 und f(x)=x+2 für x³0 ist an der Stelle x=0 nicht stetig
Denn |f(x)-f(0)|=|f(x)-2|>2 für x<0
Also wäre |f(x)-f(0)| niemals kleiner als e für e<2, egal wie klein wir d wählen.
2) gleiches Beispiel.
Mit x'=-(1/L) ist stets
|f(0)-f(-1/L)| = |2-(-1/L)| = |2+(1/L)| > 2 > 1 = L*|0-(-1/L)|
D.h. egal wie klein wir L wählen, es gibt immer ein x', daß die Gleichung nicht erfüllt.
3) gleiches Beispiel, ähnliche Begründung.
Nun zu den Unterschieden der drei Definitionen:
1) Stetig ist eine Funktion grob gesagt, wenn sie keine Sprünge hat. Das heisst die Funktionswerte ändern sich "gleichmässig" und nicht sprunghaft.
[Gegenbeispiel: Siehe oben]
2) Eine Funktion ist Lipschitzstetig, wenn alle Sekantensteigungen beschränkt sind. D.h. beispielsweise, daß sie keine Unendlichkeitsstellen haben darf, aber auch keine Sprünge, wie bei 1)
[Gegenbeispiel: f(x)=1/x]
3) Gleichmässig stetig ist eine Funktion, wenn sich die Funktionswerte im gesamten Bereich nur dann wesentlich voneinander abweichen, wenn die zu betrachtenden Stellen auch weiter auseinander liegen.
[Gegenbeispiel: f(x)=1/x²]
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