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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3731
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 15:41: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 275 lautet:
Gegeben ist die Kurve k durch die
Polarkoordinatendarstellung:
r ^2 = 2 / [3 sin (2 phi) – 4 cos (2 phi) ]
Gesucht werden alle Asymptoten der Kurve,
insbesondere deren Steigungen bezüglich der Polarachse.
Um welchen Kurventypus handelt es sich?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1216
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 23:14: |
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Hi megamath,
die kritischen Punkte waren hier schwierig zu finden[Ich bin auf eine biquadratische Gleichung in Cosinus gestoßen]! Meiner Ansicht nach:
phi1 = arccos(-sqrt(0,2)) ~ 2,034
phi2 = arccos(sqrt(0,8)) ~ 0,464
Damit gilt für die Steigung der zwei Asymptoten:
tan(phi1) = -2
tan(phi2) = (1/2)
Es handelt sich wohl um eine Hyperbel!
Ein Rückgriff auf xy-Koordinaten bestätigt uns!
-4x^2 + 6xy + 4y^2 = 2
Mit Hauptachsentransformation:
5/2 x^2 - 5/2 y^2 = 1
Die Steigung der Asymptoten als Grenzwert für x ad infinitum für:
-4 + 6 y/x + 4 (y/x)^2 = 0
4m^2 + 6m - 4 = 0
m = -2 ; m = 0,5
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3736
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. März, 2004 - 10:21: |
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Hi Ferdi
Die Aufgabe ist vollständig
richtig gelöst;
besten Dank!
Es folgt noch eine Bemerkung zur Lösung:
Der Nenner in der Gleichung
r ^2 = 2 / [3 sin (2 phi) – 4 cos (2 phi) ]
wird null für
tan (2phi) = 4/3.
Es ist nun zweckmässig, die Doppelwinkelformel
des Tangens einzusetzen.
Mit tan (phi) = m kommt:
tan (2 phi) = 2 m / (1 - m^2)
also:
2 m / (1 - m^2) = 4 / 3, daraus m1 = - 2, m2 = ½
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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