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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3712
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 13:25: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 269 erscheint eine so genannte
Rosenkurve, allgemeine Gleichung
in Polarkoordinaten:
r = a sin (m phi).
Zunächst wird vorausgesetzt, dass m ganzzahlig ist,
speziell gilt im aktuellen Beispiel m = 2;
die entsprechende Kurve heisst Quadrifolium
(Guido Grandi,1671-1742).
Die Aufgabe lautet
Es ist die Fusspunktskurve f der Astroide, Gleichung in
cartesischen Koordinaten:
x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3) , a>0
mit dem Nullpunkt O als Bezugspunkt zu ermitteln.
a)
Man bestimme eine Parameterdarstellung von f.
b)
Man bestimme eine Polarkoordinatendarstellung von f
(Pol in O, x-Achse als Polarachse).
Hinweise
1.
Begriff der Fusspunktkurve:
Fällt man von einem Punkt C auf die Tangenten einer Kurve
die Senkrechten, so liegen deren Fusspunkte auf einer
Fusspunktkurve der gegebenen Kurve; C heisst Bezugspunkt.
2.
Es genügt, denjenigen Zweig von f zu ermitteln, der
ganz im ersten Quadrant liegt.
3.
Teilaufgabe a):
Man benütze als Parameter t den spitzen Winkel einer Tangente
der Astroide mit der x-Achse.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1205
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 16:36: |
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Hi megamath,
im Moment scheint es wie verhext, ich kann deinen Hinweis nicht in die Tat umsetzen, kann ich auch die allgemeine Tangentengleichung im Punkt P (u/f(u)) bestimmen und auf diese das Lot von O fällen, so erhalte ich doch die Paramterdarstellung der Lotfusspunkte von f als x = p(u) ; y = p(u).
Oder ist ist das mal wieder um 2 Ecken gedacht?? Ich versuche immer erst die Aufgaben mit den Methoden zu lösen die ich beherrsche, aber wenn das nicht klappt...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3713
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 16:56: |
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Hi Ferdi
Es gibt viele Wege zum Ziel
Deine Idee sollte erfolgreich sein.
Probiere es!
Oder versuche es so:
die Tangentenstrecken zwischen den Koordinatenachsen haben die konstante Länge a.
Die Astroide erscheint damit als Enveloppe
einer solchen Geradenschar.
Viel Erfolg !
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3715
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 20:22: |
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Hi allerseits
Hinweis zur Aufgabe LF 269
Die Schar der Tangenten der vorgegebenen Astroide hat die
Koordinatengleichung
x / cos t + y / sin t = a
mit dem früher beschriebenen Parameter t.
Die Enveloppe dieser Schar ist identische mit der Astroide,
wie man leicht feststellt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1206
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 20:57: |
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Hi megamath,
jetzt hat es funktioniert! Dein Weg war doch etwas einfacher!
Die Schar lautet umgeformt:
y = -tan(t) x + a sin(t)
daher die Schar der Lotgeraden durch O
y = cot(t) x
Der Schnittpunkt:
x = a sin^2(t) cos(t)
y = a cos^2(t) sin(t)
Das ist schon die Paramterdarstellung von f!
In Polarakoordianten:
r^2 = x^2 + y^2
r^2 = a^2 sin^2(t) cos^2(t)
r = a sin(t) cos(t)
Dies kann man dank Goniometrie noch umformen!
sin(2t) = 2 sin(t) cos(t)
r = a/2 sin(2t)
Also das(??) Quadrifolium ist die Fusspunktkurve der Astroide! [hätte man sich auch denken können, bei dem kleinen Vorspann]
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3716
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 21:04: |
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Hi Ferdi
Danke!
Alles ok
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3717
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. März, 2004 - 07:33: |
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Hi allerseits
Zusatzaufgabe
Wie muss in der Polarkoordinatendarstellung
r = a sin (m phi)
die natürliche Zahl m gewählt werden, damit
die Kurve für das phi-Intervall
[0,2Pi] aus drei Zweigen besteht (Trifolium)?
Wie gross ist in diesem Fall der Krümmungsradius
im Nullpunkt? Vergleiche das Resultat mit dem
entsprechenden Werte beim Quadrifolium.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1209
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. März, 2004 - 18:10: |
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Hi megamath,
auf die schnelle würde ich sagen m = 3. Hab das aber eher durch probieren herausgefunden, anstatt durch fundiertes wissen! Aber wie heißts so schön: Probieren geht über studieren!!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3720
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. März, 2004 - 19:31: |
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Hi Ferdi
Ja,es gilt m = 3.
Die Krümmungen berechnen wir morgen!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3721
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. März, 2004 - 07:38: |
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Hi allerseits
Es folgen die Ergebnisse für die Krümmungsradien
bei Rosenkurven:
rho°: im Nullpunkt O
rho*: in den Scheiteln.
rho° = ½ a m ;…………. = 3/2 a für das Trifolium
rho* = a / (1 + m^2);………… .= 1/10 a für das Trifolium.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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