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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3702
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. März, 2004 - 16:27: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 267
Die Parabel y^2 = 2 p x wird am Kreis x^2 + y^2 = p x
gespiegelt.
Man weise nach, dass die Bildkurve eine Kardioide ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1199
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. März, 2004 - 00:46: |
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Hi megamath,
Ich kenne den Satz:
Eine Parabel deren Brennpunkt im Ursprung liegt, hat bei Inversion am Kreis x^2+y^2=r^2 als Bild eine Kardioide!
Diesen Fall kann man durch die Koordinatentransformation:
x - (1/2)p = u
y = v
darauf zurückführen. Leider bin ich rechnerisch noch nicht zum Ziel gekommen, aber das kann auch an der späten Stunde liegen.
Stimmt das so, denn meine Rechnungen verlaufen sich immer wieder. Oder gibt es hier auch die Möglichkeit mit Polarkoordinaten zu arbeiten, da ich auch noch in Erinnerung habe, das die Kardioide eine Konchoide des Kreises ist...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3704
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. März, 2004 - 09:05: |
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Hi Ferdi
Der Mittelpunkt des gegebene Kreises, der zum Inversionskreis
werden soll, fällt mit dem Brennpunkt F(½ p / 0) der Parabel
zusammen.
Es ist nun zweckmäßig, die Parabel in Polarkoordinatendarstellung
umzuschreiben; diese lautet bekanntlich (!) so:
r = p / [1 – cos (phi)] :
Beachte:
die x-Achse ist die Polarachse, der Brennpunkt F der Pol
für diese Polarkoordinatendarstellung.
Mit dem Einsatz dieser Methode ist man sehr schnell am Ziel!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1200
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. März, 2004 - 11:11: |
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Hi megamath,
du hast recht! Es gilt dann für diese Darstellung:
r * r' = R^2
mit r = Parabel, r' = Bild der Parabel, und R^2 = Radius des Kreises
r' = p/4 ( 1 - cos(phi) )
Eine Kardioide! Interesant wie sich die Bilder bei der Inversion ändern, wenn man den Brennpunkt der Parabel verschiebt...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3705
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. März, 2004 - 13:23: |
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Hi Ferdi
Gut so; das Ziel ist erreicht
Besten Dank.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 995
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. März, 2004 - 19:50: |
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Hi Ferdi und Megamath,
wie wär es mit einen Ausflug in die Funktionentheorie....
Spiegelung am Einheitskreis, w=1/Z* Parabel gleichung in der z- Ebene aufstellen und einfach das Ding spiegeln....
mfg
N.
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 996
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. März, 2004 - 21:35: |
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Hi Ferdi und Megamath,
entschuldigt, habe mich verguckt, ist natürlich keine Spiegelung am Einheitskreis, aber man könnte sicher auch eine Funktion in der Z- Ebene Finden, die die Spiegelung am obigen Kreis beschreibt.
mfg
N. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3707
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. März, 2004 - 08:10: |
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Hi allerseits
Zur Ergänzung:
Es gilt der allgemeinere Satz:
Bei der Spiegelung eines Kegelschnitts an einem
beliebigen Kreis mit einem der Brennpunkte als Zentrum
erhält man als Bildkurve Pascalsche Schnecken.
Zum Beweis benütze man die Polarkoordinatendarstellung
des allgemeinen Kegelschnitts
r = p / [1 - eps * cos(phi)]
p: Parameter des Kegelschnitts
eps: numerische Exzentrizität des KS.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3708
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. März, 2004 - 08:12: |
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Hi Niels
Am einfachsten geht das immer noch mit der Polarkoordinatendarstellung,
indem man die Polarachse durch den Mittelpunkt des Inversionskreises legt
und diesen als Pol wählt.
Es gilt dann :
Das Produkt der Radiusvektoren von Original- und Bildpunkt stimmt mit dem
Quadrat des Radius des Inversionskreises überein.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 997
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. März, 2004 - 21:03: |
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Hi Megamath,
jeep, ist jetzt klar, war nur so ein gedanke von mir.
mfg
N. |
