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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3690
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. März, 2004 - 21:44: | 
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Hi allerseits
LF 263
Mit dieser Aufgabe wird die Kochleoide oder Schneckenkurve c,
deren Gleichung in Polarkoordinaten
r = a sin(phi) / phi, mit a> 0 lautet, eingeführt.
Es soll die Tangente im allgemeinen Punkt P der Kurve
ermittelt werden.
Derjenige Punkt der Kurve, der zu phi = 0 gehört,
werde mit A bezeichnet.
Er wird am Fahrstrahl OP des Punktes P gespiegelt;
der Bildpunkt sei B (O ist der Pol des Koordinatensystems).
Beachte: die Punkte A und B liegen auf dem Kreis
x^2 + y^2 = a^2.
Man beweise, dass die Gerade BP die Kochleoide im Punkt P
berührt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3692
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. März, 2004 - 07:28: |
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Hi allerseits,
Zusatzaufgabe zur Aufgabe LF 263:
Welche Eigenschaft haben die Tangenten aller Kurvenpunkte
der Kochleoide, deren Berührungspunkte auf demselben Strahl
durch O liegen?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1194
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. März, 2004 - 11:50: |
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Hi megamath,
hier mal wieder zuerst ein Vorschlag(in x,y-Koordianten):
A ( a / 0 )
B ( a cos(2phi) / a sin(2phi) )
Sie liegen beide auf dem Kreis! Für A habe ich ausgenutzt das sin(phi) / phi -> 1 für phi -> 0
Dann hätte ich auch noch eine Frage! Die Gerade BP läuft doch durch P also berührt sie doch dort die Kurve! Oder soll gezeigt werden, dass sie die Kurve NUR in P berührt??
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3693
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. März, 2004 - 13:00: |
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Hi Ferdi,
Es soll nachgewiesen werden, dass die nach dem
angegebenen Rezept erzeugte Gerade g = BP
wirklich eine Tangente der Kurve in P ist.
Hinweis:
Man berechne den Winkel theta zwischen dem
Fahrstrahl OP und der Tangente auf zwei Arten:
Einmal mit der in der Aufgabe LF 261
hergeleiteten Formel, ein anderes Mal aus einer
Skizze, in welcher theta als Winkel
BPF erscheint, wobei F der Schnittpunkt des
Fahrstrahls OP mit der Sehne AB ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1195
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. März, 2004 - 14:17: |
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Hi megamath,
alles klar! Aber stimmen den die Angaben für meine Punkte?
Nicht das ich da schon einen Fehler gemacht habe und jetzt kein Vernünftiges Ergebniss erziele!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3695
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. März, 2004 - 14:26: |
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Hi Ferdi
So weit - so gut: die Angaben
sind ok!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1196
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. März, 2004 - 16:56: |
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Hi megamath,
die Gerade BP ist genau dann Tangente, wenn BP mit OP den Winkel:
tan(theta) = r/r' ein schließt!
Mit O (0/0) und B (a cos(2phi) / a sin(2phi)) und P ( [a cos(phi) sin(phi) / phi] / [a sin^2(phi) / phi ]
Erhält man schließlich als Schnittwinkel von BP mit OP:
tan(theta) = sin(phi) * phi / (phi * cos(phi) - sin(phi) )
Dies ist abe gerade r/r', also ist BP Tangente an die Kurve!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3697
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. März, 2004 - 18:44: |
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Hi Ferdi
Das ist ein möglicher Lösungsweg,
wohl der beste.
Danke für Deine Bemühung!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3700
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. März, 2004 - 11:37: |
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Hi allerseits
Lösung der Zusatzaufgabe
„Welche Eigenschaft haben die Tangenten aller Kurvenpunkte
der Kochleoide, deren Berührungspunkte auf demselben Strahl
durch O liegen?“
Antwort:
Diese Tangenten gehen alle durch denselben Punkt!
(mit den bisherigen Bezeichnungen: sie gehen alle durch B).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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