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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3684
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 16:16: | 
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Hi allerseits
Damit wir die Spiralen besser in den Griff bekommen,
soll mit der Aufgabe LF 261 der Winkel theta zwischen
dem Fahrstrahl OP des Punktes P und der Tangente t in P
bei einer durch Polarkoordinaten gegebenen Kurve
r = r(phi) berechnet werden.
Sei tau der Richtungswinkel dieser Tangente
bezüglich der x-Achs (Polarachse) ; phi ist
nach wie vor der Polarwinkel, also der Winkel
von OP bezüglich der positiven x-Achse.
Dann gilt:
tau = phi + theta , also auch
tan (tau) = tan (phi + theta)……………………………………….(1)
Andrerseits gilt wegen x = r cos (phi) , y = r sin phi für
die Differentiale
dx = cos (phi) dr – r sin (phi) d (phi)
dy = sin (phi) dr + r cos (phi) d (phi)
Durch Division:
dy/dx = [tan(phi) + r d (phi) / dr] / [1 – r tan(phi) d (phi) / dr ]……(2)
Aufgabe
Man schreibe die erste Gleichung (1) mit Hilfe des
Additionstheorems analog zur zweiten Gleichung (2) und
lese durch einen Vergleich einen Ausdruck für tan (theta) ab.
Damit lässt sich tan (theta) mit Hilfe von r und dr /d( phi) = r´
ausdrücken.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1189
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 18:42: |
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Hi,
diese Aufgabe hat mir doch so gefallen!
Das Ergebniss vorweg:
tan(theta) = r / r'
Ich habs aber so gemacht:
theta = tau - phi
tan(theta) = tan(tau - phi)
tan(tau - phi) = (tan(tau) - tan(phi)) /(1 + tan(tau)tan(phi))
Wobei hier tan(tau) gleich der Tangentensteigung ist, für die gilt bekanntlich:
m = (r' sin(phi) + r cos(phi)) / (r' cos(phi) - r sin(phi))
==>
tan(theta) = m - tan(phi) / (1 + m tan(phi))
Bringt man alles auf einen Nenner klammert aus und nutz aus das z.B.:
r cos(phi) tan(phi) = r sin(phi)
so erhält man:
tan(theta) = r ( cos(phi) + tan(phi)sin(phi) ) / [ r' ( cos(phi) + tan(phi)sin(phi) ) ]
tan(theta) = r / r'
Bei deiner Methode kam ich nicht zum Ziel, aber das Ergeniss hatte sich da schon angedeutet, und dieser Weg lag ja auch auf der Hand mit deinen Angaben!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3685
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. März, 2004 - 07:35: |
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Hi Ferdi
Jedenfalls ist Dein Schlussresultat richtig!
Es ist
tan(theta) = r / r'
°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit Hilfe des Additionstheorems des Tangens erhalte ich aus (1):
dy/dx = [tan(phi) + tan(theta)] / [1 - tan(phi) * tan(theta)].
Dies vergleichen wir mit (2):
dy/dx = [tan (phi) + r d (phi) / dr] / [1 – r tan(phi) d (phi) / dr ]……(2)
Es kommt sofort:
tan (theta) = r d (phi) / dr = r / r´ , quod erat demonstrandum.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1190
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. März, 2004 - 11:46: |
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Hi megamath,
da hab ich mal wieder um zwei Ecken gedacht! Meistens sieht man die einfachsten Sachen nicht!
mfg |
