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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3669
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. März, 2004 - 19:48: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 256 handelt von der Lituuskurve, deren
Polarkoordinatendarstellung lautet:
r = a sqrt (2) / sqrt (phi), a > 0,
die Polarachse ist, wie üblich, die x-Achse,
der Pol ist, wie üblich, der Nullpunkt O.
a)
Man berechne die Steigung m = dy/dx im allgemeinen Punkt
P(r /phi) der Kurve
(m ist als Funktion von phi darzustellen).
b)
Man spiegele den Punkt P aus Teilaufgabe a) am
Kreis x^2 + y^2 = 4 a^2 - -> Bildpunkt Q;
alsdann drehe man Q um O, Drehwinkel 90°, Bildpunkt T.
Welches sind die Polarkoordinaten von T?
c)
Man beweise: Die Tangente t der Kurve mit P als Berührungspunkt
geht durch den Punkt T.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 568
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. März, 2004 - 20:50: |
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Hi,
a) ohne Gewähr...
m = [2sqrt(phi) * cos(phi) - sin(phi)] / [cos(phi) - 2sqrt(phi) * sin(phi)]
Kan man das vereinfachen?
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3670
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. März, 2004 - 21:00: |
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Hi Klaus
Ich habe als Resultat
m = [sin phi - 2 phi * cos phi]/
[2 phi * sin phi + cos phi]
Ich habe damit zur Bewältigung der Teilaufgabe c) weitergearbeitet,
Das sollte funktionieren !
MfG
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 570
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. März, 2004 - 21:07: |
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Hi Megamath,
ich muss nochmal nachrechnen.
Geht aber erst frühestens morgen Abend.
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3672
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. März, 2004 - 21:18: |
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Hi Klaus
Wir wollen uns Zeit lassen!
Mfg
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1182
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. März, 2004 - 10:31: |
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Hi Leute,
ich werfe für T mal:
( sqrt(8) * a * sin(p) * sqrt(p) / -sqrt(8) * a * cos(p) * sqrt(p) )
Oder mit sqrt(p) = sqrt(2)a / r
T ( [4 a^2 sin(p) / r] | [-4 a^2 cos(p) / r] )
Wenn das stimmt schreibe ich die Herleitung noch dazu...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3674
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. März, 2004 - 14:00: |
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Hi Ferdi
Dein Resultat ist richtig
In einer neuen Aufgabe wird es noch eine
wichtige Rolle spielen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3675
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. März, 2004 - 14:02: |
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Hi Ferdi
Ich wäre Dir dankbar, wenn Du Deine Lösung der
Teilaufgabe b) noch ins Netz stellen kannst;
ich werde morgen zeigen, wie man diese Aufgabe
bequem mit komplexen Zahlen (sic!)
lösen kann!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1185
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. März, 2004 - 16:53: |
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Hi,
hier meine Lösung:
Ich bin ausgegangen von den Abbildungsgleichungen für die Inversion am Kreis!
Diese lauten in diesem Fall:
u = 4a^2 * x / (x^2 + y^2)
v = 4a^2 * y / (x^2 + y^2)
Nun in diesem Falle, da Polarkoordinaten vorliegen:
x^2 + y^2 = r^2 ==> r^2 = 2a^2 / p !!
x = r * cos(p) ==> x = sqrt(2)a / sqrt(p) * cos(p)
y = r * sin(p) ==> x = sqrt(2)a / sqrt(p) * sin(p)
Einsetzen liefert Q:
u = sqrt(8) * a * cos(p) * sqrt(p)
v = sqrt(8) * a * sin(p) * sqrt(p)
Nun für eine Drehung um den Ursprung mit Drehwinkel alpha = 90° gilt:
x' = v
y' = -u
D.h. wir haben T:
x' = sqrt(8) * a * sin(p) * sqrt(p)
y' = -sqrt(8) * a * cos(p) * sqrt(p)
Nun gilt noch wegen r = sqrt(2) a / sqrt(p):
sqrt(p) = a sqrt(2) / r
====>
T ( [4 a^2 sin(p) / r] / [-4 a^2 cos(p) / r] )
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3676
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. März, 2004 - 17:06: |
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Hi Ferdi
Deine Herleitung ist ok !
Sie gefällt mir gut und ist gut
nachvollziehbar.
Besten Dank für Deinen Einsatz!
MfG
H.R.Moser,megaamth
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3683
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 09:21: |
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Hi Ferdi
Es folgt die Realisierung der Abbildung
P -- > Q - - >T mit Hilfe komplexer Zahlen
Wr betten das (x,y)- Koordinatensystem in
die Ebene der komplexen Zahlen ein:
die x-Achse wird zur reellen Achse,
die y-Achse zur imaginären Achse.
Der Punkt P entspricht der komplexen Zahl
z = x + i y = r e^(i phi)
z* ist die konjugiert komplexe Zahl zu z:
z* = x – i y = r e^(- i phi).
Q entspricht dem am Ursprungskreis,
Radius 2a, gespiegelten Punkt, Bild z1.
Es ist
z1 = 4a^2 / z* = 4a^2 / {r e^(-i phi)}
= 4a^2 e^(i phi) / r
Drehung um 90° : Multiplikation mit i:
T entspricht z2 mit
z2 = i z1 = i 4a^2 e^(i phi) / r ,
also
xT = - 4a^2 sin(phi) / r
yT = 4a^2 cos(phi) / r
Dieses Resultat hast Du weiter oben durch
konventionelle Rechnung auch bekommen!
(Vorzeichen?).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1188
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 17:13: |
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Hi megamath,
ich kann meinen Fehler leider nicht finden. Leider habe ich jetzt auch keine Zeit mehr. Wir wollen gleich Fussball schauen, daher werde ich mir das morgen mal genauer ansehen!
Auch die neue LF261 kann ich erst morgen bearbeiten!
Nebenbei: Ich habe heute ein Buch gefunden: "Spiralen - Ein Kapitel phänomenaler Mathematik" von Johanna Heitzer. Es sieht sehr interesant aus, muss ich mich mal einlesen!
mfg |
