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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3667
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 16:01: | 
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Hi allerseits
Als Abschluss der Krümmungsaufgaben ebener Kurven
erscheint Aufgabe LF 255, ein Bijou im wahrsten Sinn
des Wortes.
Gegeben ist die Kurve in Parameterdarstellung
x = a (cos t + t sin t )
y = a (sin t – t cos t)
a > 0, Parameterintervall für t: [0,2 Pi]
Man berechne den Krümmungsradius roh .
Man weise nach, dass die Krümmungszentren auf einem Kreis c
liegen. Welches sind die Daten dieses Kreises?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 804
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 17:11: |
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Megamath,
Hier handelt es sich um die Evolvente des Kreises k um O mit Radius a. Der Normaleneinheitsvektor im variablen Kurvenpunkt r(t)= (x(t),y(t)) ist
n(t) = (y'(t),-x'(t)) = a(sin t , -cos t),
und für den Krümmungsradius ergibt sich
r(t) = (x'2+y'2)3/2/(x'y''-x''y') = at,
somit für den gesuchten Krümmungsmittelpunkt
m(t) = r(t) - r(t)n(t) = a(cos t, sin t),
d.h. c = k.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3668
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 18:50: |
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Hi Orion
Du hast das Problem sogleich durchschaut!
Gratulation und Dank!
MfG
H.R.Moser,megamath |
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