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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3664 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 10:03: |
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Aufgabe LF 254 Gegeben ist die Parabel y= a x ^2 + b x + c a) Man bestimme den Mittelpunkt M( xo/yo) und den Radius r des Krümmungskreises im allgemeinen Punkt (u/v) der Parabel. b) in welchem Punkt P* findet zwischen der Parabel und dem Krümmungskreis Superoskulation statt? c) welches sind die Daten dieses superoskulierenden Kreises? Ein Lösungshinweis zu b) folgt später! Man suche spontan nach Resultaten. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 566 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 10:22: |
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Hi a) y = ax^2 + bx + c y' = 2ax + b y'' = 2a rho = 1/|kappa| = (1+y'^2)^(3/2) / y'' rho = (1+ (2ax+b)^2 )^(3/2) / 2a Zusammenfassen kann man da nichts. Die Krümmungskreismittelpunkte werden denke ich durch die Evolute beschrieben. M(psi / eta) psi = x - [y'(1+y'^2)] / y'' eta = y + (1+y'^2) / y'' psi = x - [1+(2ax+b)^2]*(2ax+b)/2a eta = y + [1+(2ax+b)^2] / 2a
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3665 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 11:43: |
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Hi Klaus Deine Resultate sind alle richtig! Besten Dank Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1179 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 12:09: |
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Hi Freunde, ich hätte dann für b) P* ( -b/2a | [4ac - b^2]/4a ) daraus folgt für c) M ( -b/2a | [4ac - b^2 + 2]/4a) r = 1/2a Meine Gedanken dazu später! mfg (Beitrag nachträglich am 07., März. 2004 von tl198 editiert) |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1180 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 12:37: |
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Hi, also hier meine Idee: Es gilt ja die Superoskulation passiert mit dem Scheitelkrümmungskreis, also: Scheitel : x = -b/2a ==> y = (4ac - b^2)/4a Dort rho = 1/2a Dann in Klaus Formeln eingesetzt um M zu erhalten! Setzt man nun in (x+(b/2a))^2 + (y - [4ac - ab^2 + 2]/4a)^2 = 1/4a^2 für y = ax^2 + bx + c So erhält man nach umformen: 4(2ax+b)^2 + ((2ax+b)^2 - 2)^2 = 4 (2ax+b)^4 = 0 Juhu, vierfache Nullstelle ===> Superoskulation! Man könnte auch vom Satz ausgehen, der Scheitelkrümmungsradius ist gleich dem Paramter des Kegelschnitts! p = 1/2a Und dann: (1+(2ax+b)^2)^(3/2) / 2a = 1/2a lösen, was auf x = -b/2a führt, ein altbekanntes Ergebniss! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3666 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 14:44: |
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Hi Ferdi Eine glänzende Idee,die sehr gut realisiert wurde! Meine Ratschläge erübrigen sich damit wohl ! MfG H.R.Moser,megamath |