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Lockere Folge 254 : Superoskulation P...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Lockere Folge 254 : Superoskulation Parabel - Kreis « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3664
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 10:03:   Beitrag drucken

Aufgabe LF 254

Gegeben ist die Parabel y= a x ^2 + b x + c

a)
Man bestimme den Mittelpunkt M( xo/yo) und den Radius r des
Krümmungskreises im allgemeinen Punkt (u/v) der Parabel.

b)
in welchem Punkt P* findet zwischen der Parabel
und dem Krümmungskreis Superoskulation statt?

c)
welches sind die Daten dieses superoskulierenden Kreises?


Ein Lösungshinweis zu b) folgt später!
Man suche spontan nach Resultaten.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
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Benutzername: Kläusle

Nummer des Beitrags: 566
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 10:22:   Beitrag drucken

Hi

a)
y = ax^2 + bx + c
y' = 2ax + b
y'' = 2a

rho = 1/|kappa| = (1+y'^2)^(3/2) / y''

rho = (1+ (2ax+b)^2 )^(3/2) / 2a

Zusammenfassen kann man da nichts.

Die Krümmungskreismittelpunkte werden denke ich durch die Evolute beschrieben.

M(psi / eta)

psi = x - [y'(1+y'^2)] / y''
eta = y + (1+y'^2) / y''

psi = x - [1+(2ax+b)^2]*(2ax+b)/2a
eta = y + [1+(2ax+b)^2] / 2a


MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3665
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 11:43:   Beitrag drucken

Hi Klaus

Deine Resultate sind alle richtig!
Besten Dank

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1179
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 12:09:   Beitrag drucken

Hi Freunde,

ich hätte dann für

b) P* ( -b/2a | [4ac - b^2]/4a )

daraus folgt für c)

M ( -b/2a | [4ac - b^2 + 2]/4a)
r = 1/2a

Meine Gedanken dazu später!

mfg

(Beitrag nachträglich am 07., März. 2004 von tl198 editiert)
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1180
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 12:37:   Beitrag drucken

Hi,

also hier meine Idee:

Es gilt ja die Superoskulation passiert mit dem Scheitelkrümmungskreis, also:

Scheitel : x = -b/2a ==> y = (4ac - b^2)/4a

Dort rho = 1/2a

Dann in Klaus Formeln eingesetzt um M zu erhalten!

Setzt man nun in

(x+(b/2a))^2 + (y - [4ac - ab^2 + 2]/4a)^2 = 1/4a^2

für y = ax^2 + bx + c

So erhält man nach umformen:

4(2ax+b)^2 + ((2ax+b)^2 - 2)^2 = 4
(2ax+b)^4 = 0

Juhu, vierfache Nullstelle ===> Superoskulation!

Man könnte auch vom Satz ausgehen, der Scheitelkrümmungsradius ist gleich dem Paramter des Kegelschnitts!

p = 1/2a

Und dann:

(1+(2ax+b)^2)^(3/2) / 2a = 1/2a

lösen, was auf x = -b/2a führt, ein altbekanntes Ergebniss!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3666
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. März, 2004 - 14:44:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Eine glänzende Idee,die sehr gut realisiert
wurde!
Meine Ratschläge erübrigen sich damit wohl !

MfG
H.R.Moser,megamath

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