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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3658
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 10:28: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 253
Man bestimme die Krümmungsradien an den Extremalstellen
der Funktionskurve von y = ax^3 + bx^2 + cx + d.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1174
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 10:47: |
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Hi megamath,
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
Extrema:
f'(x) = 0
==> x = [ -2b +- sqrt(4b^2 - 12ac) ] / 6a
Krümmungkreisradius:
rho = ( 1 + f'(x) )^(3/2) / f''(x)
Da f'(x) bei Extrema = 0, folgt:
rho = 1/f''(x)
rho = +-1/ [2 * sqrt( b^2 - 3ac)]
Wobei ein negativer Radius keinen Sinn macht. Man müsste wohl noch einschränken:
b^2 > 3ac
damit ein reeller Kreis entsteht. Bei Gleicheit hätten wir Division durch 0!!
mfg
(Beitrag nachträglich am 06., März. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3660
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 11:04: |
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Hi Ferdi
Die Resultate (Plural) sind richtig!
Insbesondere hat Deine angegebene Ungleichung
einen tieferen Sinn.
Ich komme auf die Angelegenheit zurück`!
Besten Dank für die Lösung.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1176
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 16:32: |
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Hi,
du machst mich neugierig! Was kann den die kleine unscheinbare Ungleichung für einen tieferen Sinn haben...???
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3663
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 19:27: |
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Hi Ferdi
Zum Abschluss noch ein paar Bemerkungen:
1.
Der Graph einer ganzen rationalen Funktionen dritten Grades
y = ax^3 + bx^2 + cx + d mit a nicht null
ist in Bezug auf den Wendepunkt W dieser Kurve zentralsymmetrisch;
Hochpunkt H und Tiefpunkt T sind entsprechende Punkte der
zugehörigen Abbildung.
Die Beträge der Krümmungen in H und T stimmen daher überein.
2:
Dass in den Berechnungen die Krümmung auch mit negativem
Vorzeichnen erscheinen kann, rührt natürlich daher, dass y´´
für sich allein im Zähler steht.
Für Kurvenstücke, die von unten (in Richtung der pos.y-Achse) gesehen
konkav sind, ist y´´ negativ und damit auch kappa gemäss der
verwendeten Formel
3.
Meine Bemerkung bezüglich der kleinen Ungleichung ist nicht weltbewegend.
Nur dies:
sie tritt schon bei der quadratischen Gleichung zur Ermittlung der Nullstellen
der ersten Ableitung auf, d.h. in der Gleichung
3 a x^2 + 2 b x + c = 0 ,wenn man fordert, dass die Lösungen der Gleichung
reell sein sollen.
Diskriminante D = 4 b^2 – 12 a c > 0; dies ist äquivalent mit
b^2 – 3 a c > 0 , und das ist die inkriminierte Ungleichung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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