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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3650
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 2004 - 15:06: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 250
Man bestimme die Scheitel der in Polarkoordinaten gegebenen Kurve
r^2 = a^2 * phi.
Détaillierte Herleitung des Resultats erwünscht!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 564
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 2004 - 16:47: |
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Hi,
phi = z
kurze Zwischenfrage:
r^2 = a^2 * z
-->
y = asqrt(z) * sin(z)
y° = cos(z)*a*sqrt(z) + sin(z)*a/(2sqrt(z))
y°° = ...
y°°° = ...
Macht das in der Weise wirklich Sinn, denn ich meine, wenn man das nachher in die Formel einsetzt, braucht man ja ein DIN A0 Blatt, oder?
Weil sehr viel kann man da nicht zusammenfassen bei den Ableitungen...
Oder ist gerade deshalb eine detaillierte Herleitung erwünscht?
MfG Klaus
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1169
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 2004 - 17:29: |
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Hi,
ich habs so versucht:
r^2 = a^2 p
2rr' = a^2 ==> r'^2 = a^2 / 4p
2r'^2 + 2rr'' = 0 ==> r'' = -(r'^2 / r) = -a / p^(3/2)
Das in:
2r'^2 - rr'' + r^2 / (r'^2 + r^2)^(3/2)
==>
1/a * [ (4p^3 + 3p) / (1+4p^2)^(3/2) ]
Dies sei f(p) ==> auf Extrema untersuchen:
Zähler von f'(p):
(12p^2 + 3)(1+4p^2) - (4p^3 + 3p)(12p) = 0
12p^2 + 48p^4 + 3 + 12p^2 - 48p^4 - 36p^2 = 0
p^2 = (1/4)
p = +- (1/2)
Dies noch mit der Konstante multipliziert!
Meiner Meinung nach kommt nur p = (1/2a) in Frage, daraus:
r = (1/2) * sqrt(2a)
Wars so gemeint? In x,y umschreiben bringt uns glaube ich auch nicht weiter...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3652
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 2004 - 18:40: |
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Hi Ferdi, Hi Klaus
Da die Aufgabe schwieriger ist, habe ich um eine
ausführlichere Lösung gebeten, damit geneigte
Leser die Berechnungen besser nachvollziehen können.
Ein andere Grund liegt nicht vor.
Ich gebe in Stichworten meine Lösungsvariante bekannt:
Die Nullsetzung der Ableitung der Krümmung k = kappa nach phi liefert
eine biquadratische Gleichung für den Wert phi ,
welcher ein Extremum der Krümmung liefert.
Die Gleichung lautet.
(phi)^4 + 5/2 (phi)^2 – 3/16 = 0
Eine Lösung ist phi ~ 0,27.
Mehr davon morgen!
Ich werde auch Eure Lösungen studieren.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1171
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 2004 - 23:43: |
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Hi megamath!
Nach ein paar Schnaps und Bier kam mir die Idee!! Ein Rechenfehler in meiner Rechnung! Sie basierd#te ja auf deiner Idee:
Nur die zu Untersuchende Funktion lautet:
( (8p^2 + 6) * sqrt(p) ) / ( 1 + 4p^2)^(3/2)
Deren Ableitung:
(20p^2 + 3) * 1/sqrt(p) * (1 + 4p^2 ) - (96p^4 + 72p^2) * 1/sqrt(p)
Dies gleich null und geordnet:
16p^4 + 40p^2 - 3 = 0
p^4 + 5/2 p^2 - 3/16 = 0
mit
p = (1/2) * sqrt ( sqrt(28) - 5 )
p ~ 0,26995491
Das einem dies immer erst nach ein paar Bier und Schanps mit den Freunden auffällt...
Handelt es sich hierbei um eine Archimedische Spirale, oder hat diese keinen besonderen Namen??
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3654
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 08:18: |
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Hi Ferdi
Meine Gratulation zu dieser Leistung; hoffentlich kommst
Du ungeschoren durch die Dopingkontrolle.
Ich habe, unterstützt durch ein paar Tassen Kaffee,
noch folgendes gemacht:
Auf der Grundlage zur Lösung der Aufgabe LF 243
(siehe dort) ergibt sich für die Krümmung kappa einer
durch Polarkoordinatendarstellung gegebenen Kurve
r = r(phi):
kappa = [2(r´)^2 - r r ´´+r^2] / [(r´)^2+r^2]^(3/2)
In unserem Fall ergibt sich damit:
kappa = [3 t + 4 t^5] / [1+4 t^4]^(3/2)
mit t = sqrt(phi).
Wir leiten kappa nach t ab und setzen diese Ableitung null.
Das gibt die Gleichung achten (!) Grades in t:
16 t^8 +40 t^4 – 3 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die relevante Lösung ist
t= t* = ½ sqrt[-2*sqrt(-5 – 2 sqrt(7))]~0,519571856
daraus phi* = t*^2 ~ 0,26995491
Bravo!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3655
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 08:56: |
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Hi Ferdi
Zu Deiner Frage betr. Nomenklatur der Spiralen.
Hier einige Namen:
r = a phi : Archimedische Spirale
r = a (phi)^2 : Galileische Spirale
r = (+-) a sqrt (phi) : Fermatsche Spirale.
Eine intensive Beschäftigung mit diesen Spiralen
ist ®echt reizvoll !
Wir werden das bei Gelegenheit tun!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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