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Lockere Folge 242 : Krümmungsmittelpu...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3627
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 2004 - 17:09:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 242

Man berechne für die logarithmische Spirale
r = e ^ (a phi) ; Polarkoordinatendarstellung,a>0
das Krümmungszentrum M bezüglich des Punktes P,
für den phi = 0 gilt.
Welche Steigung hat die Kurvennormale im Punkt Q,
der zu phi = ½ Pi gehört ?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
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Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle

Nummer des Beitrags: 553
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 2004 - 18:12:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

phi = z

y° = (sinz + cosz) / (-sinz + cosz)

Für phi = pi/2 ergibt sich für die Steigung:
y° = m = 1/-1 = -1

Mit m1 * m2 = -1 folgt für die Steigung der Normalen im Punkt Q der Wert m2 = -1

Mit dem Krümmungszentrum komme ich nicht klar. Höre ich zum ersten Mal. Muss mich mal erst mal informieren.


MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3628
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 2004 - 20:40:   Beitrag drucken

Hi Klaus



Die Antwort in Bezug auf den Punkt Q ist richtig!
Bravo!
Beachte:
Ist M das Krümmungszentrum bezüglich des
Kurvenpunktes P, so gilt:
die Strecke PM stimmt mit dem Krümmungsradius rho überein;
rho ist der Reziprokwert der Krümmung kappa.

Ich verrate noch(zur Kontrolle):
M liegt auf der y-Achse

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3633
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. März, 2004 - 08:20:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Lösung der Aufgabe LF 242
Liegt eine Kurve in Parameterdarstellung r =r(phi) vor,
so können wir die Krümmung kappa nach der Formel
kappa = [2 r´^2 – r r ´´+ r^2] / [(r´^2 + r^2 ] ^(3/2)
verwenden.
Dabei sind r´und r´´die erste und zweite Ableitung
von r nach phi.
Wir erhalten nach leichter Rechnung:
kappa = 1 / [r*sqrt(a^2+1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
in P: kappa = 1 / sqrt(a^2+1

Berechnung der Steigung der Kurvennormalen n im Punkt P
mit xP = 1, yP = 0 (phi = 0 , r = 1).
Wir gehen von der Parameterdarstellung der Kurve
mit phi als Parameter aus:
x = r cos(phi) = e^(a phi)*cos(phi)
y = r sin(phi) = e^(a phi)*sin(phi)
Ableitungen nach phi:
x° = a e^(aphi) cos (phi) - e^(a phi) sin(phi)
y° = a e^(aphi) sin (phi) + e^(a phi) cos(phi)

Im Punkt P:
Steigung m = y°/x° = 1/a
Steigung der Normalalen n:
m´= - a
Gleichung von n: y = - ax + a
n schneidet die y-Achse im gesuchten Punkt M(0/a);
die Strecke PM = sqrt(a^2 + 1) stimmt gerade mit
dem Krümmungsradius rho = 1/kappa überein!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
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Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle

Nummer des Beitrags: 557
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. März, 2004 - 17:46:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

auch hier vielen Dank für die Ausführungen!


MfG Klaus

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