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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3627 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 2004 - 17:09: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 242 Man berechne für die logarithmische Spirale r = e ^ (a phi) ; Polarkoordinatendarstellung,a>0 das Krümmungszentrum M bezüglich des Punktes P, für den phi = 0 gilt. Welche Steigung hat die Kurvennormale im Punkt Q, der zu phi = ½ Pi gehört ? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 553 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 2004 - 18:12: |
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Hi Megamath, phi = z y° = (sinz + cosz) / (-sinz + cosz) Für phi = pi/2 ergibt sich für die Steigung: y° = m = 1/-1 = -1 Mit m1 * m2 = -1 folgt für die Steigung der Normalen im Punkt Q der Wert m2 = -1 Mit dem Krümmungszentrum komme ich nicht klar. Höre ich zum ersten Mal. Muss mich mal erst mal informieren.
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3628 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 2004 - 20:40: |
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Hi Klaus Die Antwort in Bezug auf den Punkt Q ist richtig! Bravo! Beachte: Ist M das Krümmungszentrum bezüglich des Kurvenpunktes P, so gilt: die Strecke PM stimmt mit dem Krümmungsradius rho überein; rho ist der Reziprokwert der Krümmung kappa. Ich verrate noch(zur Kontrolle): M liegt auf der y-Achse MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3633 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. März, 2004 - 08:20: |
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Hi allerseits Lösung der Aufgabe LF 242 Liegt eine Kurve in Parameterdarstellung r =r(phi) vor, so können wir die Krümmung kappa nach der Formel kappa = [2 r´^2 – r r ´´+ r^2] / [(r´^2 + r^2 ] ^(3/2) verwenden. Dabei sind r´und r´´die erste und zweite Ableitung von r nach phi. Wir erhalten nach leichter Rechnung: kappa = 1 / [r*sqrt(a^2+1) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° in P: kappa = 1 / sqrt(a^2+1 Berechnung der Steigung der Kurvennormalen n im Punkt P mit xP = 1, yP = 0 (phi = 0 , r = 1). Wir gehen von der Parameterdarstellung der Kurve mit phi als Parameter aus: x = r cos(phi) = e^(a phi)*cos(phi) y = r sin(phi) = e^(a phi)*sin(phi) Ableitungen nach phi: x° = a e^(aphi) cos (phi) - e^(a phi) sin(phi) y° = a e^(aphi) sin (phi) + e^(a phi) cos(phi) Im Punkt P: Steigung m = y°/x° = 1/a Steigung der Normalalen n: m´= - a Gleichung von n: y = - ax + a n schneidet die y-Achse im gesuchten Punkt M(0/a); die Strecke PM = sqrt(a^2 + 1) stimmt gerade mit dem Krümmungsradius rho = 1/kappa überein! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 557 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. März, 2004 - 17:46: |
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Hi Megamath, auch hier vielen Dank für die Ausführungen!
MfG Klaus
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