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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3626
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 2004 - 16:52: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 241
Man berechne für die Lemniskate
(x^2 + y^2)^2 - a ^2 (x^2 – y^2) = 0 , a>0
die Krümmungsradien in den Berührungspunkten
der Doppeltangenten.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 555
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 2004 - 18:53: |
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Hi Megamath,
Frage:
welche Bedingungen kann man hier verwenden (ähnlich LF 240).
Die Doppeltangenten verlaufen denke ich durch den Ursprung - daher logischerweise auch ihr Berührpunkt.
Bedingung:
x = y = 0
y' = +1 bzw. -1 ?? (schätze ich)
Oder stimmt das gar nicht, denn du nennst Berührungspunkte
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3629
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 2004 - 21:02: |
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Hi Klaus
Du solltest Dir von der Bernoullischen Lemniskate ein Bild
verschaffen, im wahrsten Sinn des Wortes.
Schau in Google nach!
Die Doppeltangenten sind parallel zur x-Achse!
Sie dürfen nicht mit den Tangenten im Ursprung, der einen
Doppelpunkt der Kurve darstellt, verwechselt werden.
Es genügt, sich auf einen der vier Berührungspunkte zu
konzentrieren, zB. auf den, der im ersten Quadrant liegt
und B* heisse.
Zuerst müssen wir diesen Punkt B* bestimmen!
Leite auch hier die Gleichung implizit nach x ab, setze
y´= 0 und löse nach x und y auf: das sind die Koordinaten von B*.
Leite nochmals nach x ab und bestimme y´´ im betreffenden
Punkt.
Damit stehst Du unmittelbar vor dem Ziel!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3632
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. März, 2004 - 07:20: |
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Hi allerseits
Lösung der Aufgabe LF 241
Wir leiten die gegebene Gleichung implizit
nach x ab; Resultat:
2 (x^2 +y^2) (x + y y´) – a^2 (x – y y´) = 0
Wir setzen y’ = 0 und bestimmen x und y aus dieser Gleichung
und der Kurvengleichung; Resultat:
x = ½ a sqrt(3/2), y = ½ a sqrt(1/2).
Bestimmung von y´´; wir leiten nochmals implizit nach x ab:
4 (x + y y´) ^2 + 2 (x^2 + y^2) [ 1 + (y´ )^2 + y y´´ ]
- a ^ 2 [1 - (y´)^2 – y y ´´ ] = 0
Wir setzen x = ½ a sqrt(3/2), y = ½ a sqrt(1/2), y´= 0 ein
und erhalten y ´´ = - 3 / (2a) * sqrt(2), daraus folgt
für den Krümmungsradius rho im ausgezeichneten Punkt:
rho = - a sqrt(2) / 3
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 556
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. März, 2004 - 17:45: |
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Hi Megamath,
vielen Dank für deine Ausführungen!
MfG Klaus
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