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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3619
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Februar, 2004 - 16:29: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 240
Gegeben ist das Cartesische Blatt (folium Cartesii);
Koordinatengleichung
x^2 + y^2 = 3 a x y , a > 0
Gesucht wird der Krümmungsradius im Ursprung
(Man wähle den Zweig, für den x = y = y´= 0 gilt).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1161
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Februar, 2004 - 17:32: |
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Hi megamath,
eine interesanten Kurve, sie begegent mir zum ersten mal! Meinst du:
x^3 + y^3 = 3axy ??
Dennoch kann ich deinen Hinweis nicht verwerten, ich finde auch keine geeignete Paramterisierung...
Ich hoffe du kannst mir helfen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3621
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Februar, 2004 - 18:21: |
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Hi Ferdi
Da hat sich ein sinnstörender TF eingeschlichen!
Die Kurve ist eine algebraische Kurve dritter Ordnung:
dritte Potenzen von x und y links !
Hilfe:
nicht parametrisieren,sondern implizit nach x ableiten,aber genügend oft, bis die dritte Ableitung y´´´ auftaucht ,damait man y´´ findet;das ist aufregend !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1162
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Februar, 2004 - 19:27: |
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Hi megamath,
ich hätte dann so was:
x^3 + y^3 - 3axy = 0
3x^2 + 3y'y^2 - 3a (y + xy') = 0
x^2 + y'y^2 - a ( y + xy') = 0
y' = (ay - x^2) / (y^2 - ax)
Und daraus dann mit Quotientenregel y''. Wie soll ich dann weiter vorgehen? Kommt dann die Formel [ ( 1 + y'^2 )^(3/2) / y'' ] ins Spiel?
Naja, jetzt muss ich erstmal. Morgen bricht mein letzter Monat Wehrdienst an, bin also erst morgen abend wieder da!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3622
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Februar, 2004 - 20:00: |
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Hi Ferdi
Du hast gut angefangen;
nicht nach y´ auflösen,sofort weiter ableiten:
2x - 2ay´- axy´´ + 2 y (y´)^2 + y^2 y´´ = 0
jetzt nochmals !!!
Dann x = y = y´= 0 setzen und y´´ bestimmen.
Schliesslich wird die erwähnte Formel benützt.
Anm:
Diesen Lösungsgag habe ich zur
Feier des Schalttages ausgedacht,
der nicht so bald wieder auf einen Sonntag fällt!
mfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1164
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. März, 2004 - 17:02: |
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Hi megamath,
ich komme dann auf
r = 3/2 a
was auch stimmen müsste, aber mich würde mal die Idee hinter diesem Weg interessieren, was habe ich genau berechnet, denn implizite Ableitungen und Krümmungskreisradien haben auf den ersten Blick nicht viel gemein! Vorallem, das x = y = y' = 0 setzen, ist ein Schritt den ich zwar durchführen kann, aber nicht verstehen kann! Hoffe du kannst noch mal kurz helfen!
mfg |
Kläusle (Kläusle)
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Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 552
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. März, 2004 - 17:24: |
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Hi Ferdi,
ich denke du kannst y = y' = x = 0 setzen, weil eben genau dieser Ast diese Bedingungen erfüllt.
Der andere Zweig hätte - denke ich - folgende Eigenschaften:
x = y = 0 und y' = |oo|
Kannst ja mal für diesen Fall auch die Krümmung bestimmen ;-)
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3624
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. März, 2004 - 17:49: |
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Hi Ferdi,Hi Klaus
Ich kann aus terminlichen Gründen erst morgen auf die Fragen eingehen.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3625
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 2004 - 09:51: |
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Hi Ferdi
Dein Schlussresultat ist richtig!
Die implizite Differentiation hat den Zweck, die zweite Ableitung
an der maßgeblichen Stelle zu ermitteln, damit man sie in die
Formel für die Krümmung einsetzen kann. Das ist alles!
Diese Stelle ist dadurch ausgezeichnet, dass x, y und y´ alle
zugleich null sind.
Die Rechnung geht so: aus
2x - 2ay´- axy´´ + 2 y (y´)^2 + y^2 y´´ = 0
entsteht durch nochmaliges Differenzieren
2 – 3 a y´´- a x y ´´´+ 2 (y´)^3 + 6 y y´y´´+ (y)^2 y´´´ = 0
Für den gegebenen Punkt folgt daraus mit x = y = y´= 0 sofort
y´´= 2 / (3a)
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Für den andern Ast erhalten wir im Nullpunkt aus
Symmetriegründen dieselbe Krümmung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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