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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3610
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 15:50: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe 236 ist zu einer gegebenen
Kurve c eine Schmiegungsparabel zu ermitteln;
c ist der Graph der Funktion
y = - b + b / a * sqrt (a^2 + x^2) ; a , b > 0.
Man bestimme für die Parabelgleichung y = c x^2
die Konstante so, dass beide Kurven im Nullpunkt O
dieselbe Krümmung haben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3611
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 16:11: |
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Hi allerseits
Es folgt ein Lösungshinweis.
Die gegebene Kurve stellt einen Zweig einer Hyperbel dar; a und b sind
vermutlich die Halbachsen.
Man könnte mit der Methode von elsa den Kümmungsmittelpunkt
der Hyperbel für den Scheitel O bestimnmen,
etc.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3612
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 16:24: |
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Hi allerseits
Ein weiterer Hinweis:
auch eine Taylorentwicklung könnte helfen !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1158
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Februar, 2004 - 22:13: |
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Hi megamath,
ich habe mal über die Taylorentwicklung nachgedacht, wir versuchen also, die gegebene Funktion durch eine Parabel anzunähern!
f(x) = f(0) + x/1!*f'(0) + x^2/2!*f''(0)
Nun:
f(0) = 0
f'(0) = 0
f''(0) = b/a^2
==> y = b / (2 * a^2) * x^2
Meine Skizzen sehen dazu ganz gut aus...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3613
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Februar, 2004 - 09:43: |
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Hi Ferdi
Dein Resultat it richtig
Die gesuchte Konstante c ist somit c =b / (2 * a^2)
Dasselbe Resultat erhalten wir auch so:
Bei der Parabel y = c x^2 fällt der
Krümmungsradius r im Scheitel O mit dem Parameter
zusammen,somit
r = 1/(2 c).
Andrerseits ist der Krümmungsradius r´ der Hyperbel
mit den Halbachsen a, b im Scheitel
(b ist die reelle Halbachse !):
r´= a^2/b
Aus r = r´ folgt wiederum
c = b / (2 * a^2)
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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