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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3548
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 20:03: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 227 soll für die in den Aufgaben
LF 213 und LF 214 besprochene Durchdringungskurve c
(Kurve von Viviani oder Roberval) die Bogenlänge L
berechnet werden.
Parameterdarstellung von c:
a = a (cos m) ^2
y = a sin m cos m
z = a sin m
Der Parameter m läuft von 0 bis 2 Pi.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1138
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Februar, 2004 - 21:11: |
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Hi megamath,
kann es sein, das die Berechnung auf ein elliptisches Integral führt? Hab das jetzt schon ein paar mal durchgerechnet...
Ich verwende hierzu die Formel:
L = ò0 2pi sqrt(x'(m)^2 + y'(m)^2 + z'(m)^2) dm
Oder sollte man hier einen anderen Weg wählen??
PS: Ich wusste gar nicht das diese Kurve auch einen Namen hat, interesant zu wissen, das sich schon früher Leute mit diesen Sachen beschäftigt haben! Ich bin auch sehr an der Geschichte der Mathematik interessiert!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3549
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 07:08: |
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Hi Ferdi
Der von Dir eingeschlagene Weg ist korrekt!
Der gesuchte Umfang stimmt mit dem Umfang
einer Ellipse überein.
Über Vicenzo Viviani (1622-1703) kannst Du in
Google Einiges nachlesen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1139
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 16:52: |
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Hi,
dann bin ich ja beruhigt!!
Danke für den Tipp!
mfg |
Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 514
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Februar, 2004 - 20:50: |
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Hi allerseits,
ich bin soweit gekommen:
Bei der Verwendung von Ferdis Formel steht bei mir vor der Integration folgendes:
sqrt(1 + cos^2x)
Stimmt das?
Stammfunktion = ??
sin^2x + cos^2x = 1 bringt nix. Substitution auch nix... Partiell auch nix...
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3552
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Februar, 2004 - 13:03: |
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Hi Klaus
Willkommen bei den LF !
Du hast Recht! Es geht nicht, weil das Integral ein
verkapptes elliptisches Integral ist.
Wie ich in einem früheren Statement festhielt,
stimmt der gesuchte Umfang mit dem Umfang
einer Ellipse überein.
Du kannst Dich selber davon überzeugen:
Wähle für die Ellipse die bekannte
Parameterdarstellung
x = a cos t
y = b sin t
und das Achsenverhältnis b : a = sqrt (2) : 1,
also b^2 = 2 a ^2
Stelle den Ellipsenumfang als Integral dar;
achte darauf, dass der Kosinus allein auftritt,
und Du bist am Ziel!
Mit freundlichen Grüßen
aus der nahen CH
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 516
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Februar, 2004 - 21:12: |
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Hallo
Ja, genau. Es stimmt mit dem Umfang einer Ellipse überein.
Da kann man "nur" die Näherungsformel nehmen:
U = pi[1,5(a+b) - sqrt(ab)]
mit b = sqrt(2) * a
U ~ 2,432a
MfG Klaus
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3557
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 13:42: |
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Hi Klaus
Deine Berechnung ist im Ansatz richtig;
herzlichen Dank!
Bei der numerischen Auswertung fehlt
allerdings der Faktor Pi!
Das Resultat ist mit dieser Näherung 7,64 a.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3558
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 14:54: |
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Hi Klaus
Die von Dir verwendete Näherungsformel
stammt von Boussinesq und leistet in diesem Fall
sehr gute Dienste.
Es gibt andere, etwas kompliziertere Näherungsformeln,
etwa diejenige von Legendre und eine andere von
Rodolphe Soreau.
Ich habe früher in Zahlreich darüber berichtet!
Was sagt Miss Marple V zum Integral
U =int [sqrt(1+(cos(phi)^2] d(phi)] ?
Ergebnis:
U = 4 sqrt(2) Elliptic E(½ sqrt(2)) ~
7,640395576.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3559
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 15:02: |
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Hi allerseits
Es folgt ein kurzes Exposé zum Ellipsenumfang!
Nach der Formel für die Bogenlänge ist der
Ellipsenumfang
U=4*int(0..Pi/2)sqrt[a^2*sin^2(u)+b^2*cos^2(u)]du
= 4a*int(0..Pi/2)sqrt[1 - k^2*sin^2(u)]du,
wobei k = sqrt (a^2 - b^2)/ a^2 die numerische
Exzentrizität ist.
Mit der Substitution
sin(u) = t ==> du = dt / sqrt(1-t^2)
wird
U = 4a*int(0..1) sqrt [(1-k^2t^2) / (1-t^2)] dt
= 4a*E(k).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1143
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 11:54: |
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Hi megamath,
besten Dank für deine Exkursion!
Nach dieser harten Woche habe ich jetzt erstmal Urlaub um wieder mehr Mathematik zu betreiben!
mfg |
