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Coldstone2509 (Coldstone2509)
Mitglied
Benutzername: Coldstone2509
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 13:49: | 
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Bitte Um Hilfe:
Finden Sie alle komplexen Zahlen, deren dritte Potenz gleich 1 ist. Hinweis: Was passiert beim Potenzieren mit einer komplexen Zahl in der Gaussschen Zahlenebene mit der Länge und dem Winkel?
Schreiben Sie die Ergebnisse zum Schluss in der Form a + bi mit reellen Zahlen a und b. Überprüfen Sie die Resultate, indem Sie die davon die dritten Potenzen ausrechnen (die dann gleich 1 sein sollten).
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 957
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 14:34: |
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Hi!
Beim Potenzieren einer komplexen Zahl z wird der absolute Betrag (Länge des Zeigers) potenziert und der Winkel, den der Zeiger mit der reellen Achse einschließt, entsprechend multipliziert.
z = a + bi
->
|z| = r = sqrt(a² + b²)
phi = arctan (b/a) bzw. phi = arcsin(b/r), phi = arccos(a/r)
Daher schreiben wir z als z = (r; phi)
z = (r; phi)
z^n = (r^n; n*phi)
oder mit Winkelfunktionen
z = r*(cos(phi) + i*sin(phi))
z^n = r^n * (cos(n*phi) + i*sin(n*phi))
Wenn die dritte Potenz einer Zahl (a + bi) gleich 1 ist, müssen wir den Vorgang umkehren, also die dritte Wurzel aus 1 ziehen und den Winkel durch 3 dividieren. Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen sin, cos - diese haben die Periode 2pi (360°) - wird nach dem Dividieren der Winkel von 0 an solange um 2pi/3 (120°) zu vergrößern sein, bis ein voller Umlauf (2pi = 360) erreicht ist. Für diesen Winkel gibt es drei Möglichkeiten: 0, 2pi/3, 4pi/3 (0°, 120°, 240°), der nächste wäre 360°, dieser entspricht aber wieder 0°, somit drei Lösungen, deren dritte Potenz wiederum 1 ist.
z³ = 1 = (1; 0)
----------------
z1 = (1; 0)
z2 = (1; 2pi/3
z3 = (1; 4pi/3)
---------------
z1 = 1*((cos(0°) + i*sin(0°) = 1
z2 = 1*((cos(120°) + i*sin(120°) = -1/2 + (i/2)*sqrt(3)
z3 = 1*((cos(240°) + i*sin(240°) = -1/2 - (i/2)*sqrt(3)
Das Rückpotenzieren geschieht mit den binomischen Formeln
(a +/- b)³ = a³ +/- 3a²b + 3ab² +/- b³
Du wirst jeweils wieder 1 erhalten ....
Hinweis: i² = -1, i³ = -1
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 13., Februar. 2004 von mythos2002 editiert) |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 790
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 15:09: |
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Coldstone,
beachte, dass
z3-1 = (z-1)(z2+z+1).
Die Nullstellen des quadratischen Faktors sind
(1/2)(-1 ± sqrt(3)*i).
mfG Orion
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 959
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 23:18: |
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Hallo!
Sorry für den Schreibfehler, es ist natürlich
i³ = -i
@Orion ..
.. ich glaube, dass der Aufgabensteller auf Grund des Hinweises gerade dies nicht optiert (obwohl's natürlich richtig und in diesem Falle auch einfacher ist).
Vielmehr soll der Schüler zum Verständis und Anwendung des Satzes von Moivre bzw. später der Eulerschen Formel hingeführt werden.
Allgemeine Gleichungen der Form
z^n = a + b*i
(die auch Kreisteilungsgleichungen genannt werden) sind effizient nur noch mit diesen Mitteln aufzulösen.
Gr
mYthos
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 791
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 07:49: |
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Mythos,
Du hast natürlich Recht, dies war auch nur zur
Ergänzung deiner Ausführungen gedacht. Aber
vielleicht lohnt sich bei dieser Gelegenheit doch der Hinweis, dass die nicht-trivialen n-ten Einheitswurzeln in zn-1+zn-2+...+z+1 stecken.
mfG Orion
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Coldstone2509 (Coldstone2509)
Mitglied
Benutzername: Coldstone2509
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 11:42: |
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vielen dank freunde |
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