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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3531
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 11:00: | 
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Hi Allerseits
Als Aufgabe LF 222 kommt eine Aufgabe,
die scheinbar aus dem Thorus-Rahmen fällt.
Es geht um die Ermittlung einer Ortskurve
in einer (y,z) - Ebene.
Gegeben ist der feste Kreis k durch die Gleichung:
y^2 + z^2 – 2ay + ½ a^2 = 0
Die Gerade g mit der Gleichung z = m y schneidet
k in den Punkten A und B.
Die Sehnenlänge L = AB wird vom Nullpunkt O aus
auf g nach beiden Seiten abgetragen,
Endpunkte P und P*.
Gesucht wird die Ortskurve von P und P* ;
der Parameter m variiert von – ¼ Pi bis ¼ Pi.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 789
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 14:32: |
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Megamath,
Sind (yi,zi), i=1,2, die Schnittpunkte von k und g,
so gilt (Vieta !):
y1+y2 = 2a/(1+m2) , y1y2 = (1/2)a2/(1+m2) =>
L2 = (1+m2)(y1-y2)2
= (1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]
=2a2(1-m2)/(1+m2)2.
Die Koordinaten von P lauten also
h = a sqrt(2-2m2)/(1+m2),
z = m h => m = z/h
Damit ist die Elimination von m schon bewerkstelligt,
und man gelangt zur Lemniskatengleichung
(h2+z2)2=2a2(h2-z2).
Vermutlich soll es heissen -1 £ m £ 1 ?
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3533
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 15:09: |
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Hi Orion
Danke für die Lösung und besonders auch für
die Korrektur !
MfG
H.R.Moser,megamath |
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