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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3525
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 15:00: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 221 soll der in Aufgabe LF 220
eingeführte Torus mit einer bestimmten Tangentialebene der
Fläche in einer Kurve c geschnitten werden.
Der Berührungspunkt T (a - r / 0 / 0) mit a > r ist vorgegeben.
Die Schnittkurve c wird damit zur (y, z) –Ebene parallel
und somit mit ihrer Projektion auf diese kongruent.
Die Aufgabe lautet:
a)
Man ermittle die Gleichung der Projektion der Schnittkurve
c auf die (y,z) – Ebene.
b)
Wie lautet die Gleichung der unter a) ermittelten Kurve für
den Spezialfall a = 2 r ?
Man beweise, dass diese Kurve eine Bernoullische Lemniskate
ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3526
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 15:24: |
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Hi allerseits
Lösungshinweis für die Aufgabe LF 221 a):
Man isoliere den Term
(y^2 + z^2) ^ 2, d.h.
die linke Seite der gesuchten Gleichung
soll mit dem angegebenen Term übereinstimmen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1130
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 17:38: |
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Hi megamath,
die gesucht Ebene müsste doch
x = (a - r) sein,
die Koordinaten des Berührpunktes erfüllen zumindest x^2+y^2<a^2
Dann erhalte ich in a:
y^2 + z^2 + 2a^2 - 2ar = 4a^2 ((a-r)^2 + y^2)
Für a = 2r
y^2 + z^2 + 4r^2 = 16r^2 ( r^2 + y^2)
Das stellt für mich aber keine Lemniskate dar, eher wenn ich a = r setze, dann mämlich:
(y^2 + z^2) = 4r^2y^2
Wo liegt hier der Fehler? Schon in der Ebenengleichung?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3527
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 18:33: |
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Hi Ferdi,
Berührungspunkt auf dem Kehlkreis;
Gleichung der Tangentialebene: x = a - r.
Gesuchte Kurvengeichung:
(y^2+z^2)^2 = 4 a [r y^2 - (a - r) z^2]
Sonderfall:
a = 2 r
Gesuchte Gleichung:
(y ^ 2 + z ^ 2) ^ 2 = 2 a^2 (y ^ 2 – z ^ 2)
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1131
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 19:22: |
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Hi megamath,
sorry, aber ich kann deine Lösung nicht nachvollziehen!
Ich gehe aus von LF220:
(x^2 + y^2 + z^2 + a^2 - r^2)^2 - 4a^2 (x^2 + y^2) = 0
Um die Projektion zu erhalten, eliminiere ich jetzt x aus beiden Gleichungen:
((a-r)^2 + y^2 + z^2 + a^2 - r^2)^2 - 4a^2 ((a-r)^2 + y^2) = 0
(y^2 + z^2 + 2a^2 - 2ar)^2 = 4a^2 ((a-r)^2 + y^2)
Wo liegt mein Fehler? Oder kann man da geschickt umformen? Ich muss sagen ein interesantes Thema! Torus war mir bisher ein weniger vertrautes Gebilde!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3528
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 20:19: |
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Hi Fredi
Deine letzte Zeile ist (noch) richtig;
nur weiter so ! Befolge meinen Rat, und
berechne jetzt cool daraus (y^2 + z^2)^2
Es wird sich einiges wegheben dabei !
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3529
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 10:23: |
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Hi Ferdi
Die Rechnung geht im Ansatz folgendermaßen:
(x^2+y^2+z^2 + a^2 – r^2)^2 = 4 a^2 (x^2+y^2)
mit x = a-r:
(y^2+z^2+2a^2–2ar)^2 = 4a^2(a^2– 2ar+r^2+y^2)
Daraus:
(y^2+z^2)^2 = 4a^2(a^2– 2ar+r^2+y^2)
- 2 (y^2+z^2)(2a^2–2ar) – (2a^2–2ar)^2
Werden auf der rechtren Seite alle Klammern gelöst,
bleibt noch der Term
4ary^2 – 4a^2 z^2 + 4arz^2.
Das Resultat lautet somit:
(y ^ 2 + z ^ 2) ^ 2 = 4 a [r y^2 - (a - r) z^2]
Nun kommt der Spezialfall a = 2 r zum Zug, und dies
führt auf die Gleichung
(y ^ 2 + z ^ 2) ^ 2 = 2 a^2 (y ^ 2 – z ^ 2)
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3530
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 10:26: |
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Hi allerseits
Wir führen in der (y,z)-Ebene Polarkoordinaten
Mit der y-Achse als Polarachse ein.
Mit y = r cos (phi) , z = r sin (phi) wird aus der
Gleichung
(y ^ 2 + z ^ 2) ^ 2 = 2 a^2 (y ^ 2 – z ^ 2) zunächst
r^4 = 2 a^2 r^2 cos (2 phi).
r^2 hebt sich weg; dies bedeutet:
der Berührungspunkt T der Tangentialebene ist ein
Doppelpunkt der Schnittkurve c.
Wir erkennen in der Polarkoordinatendarstellung
r^2 = 2 a^2 cos (2 phi)
eine LEMNISKATE.
Die Tangenten im Nullpunkt stimmen mit den
Winkelhalbierungsgeraden der Koordinatenachsen
y, z überein.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1132
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 10:49: |
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Jo, jetzt ist alles klar! Hatte da eine Denkblokade, deinen Hinweis gewinnbringend umzumünzen!
mfg |
