| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3519
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 16:55: | 
|
Hi allerseits
Die Serie „Raumkurven“ hat, wie jede Wurst, zwei Enden!
Das erste Ende war die Aufgabe LF 218, das zweite erscheint
als Aufgabe LF 219:
Von einer Raumkurve c kennt man die Projektionen
auf die Koordinatenebenen:
y = ½ a x^2 (a>0); Parabel, nach oben offen, Scheitel in O
z = 1/6 a b (2/a ) ^ (3/2) * y ^ (3/2); Neilsche Parabel, Spitze in O.
z = 1/6 a b * x^3; kubische Parabel, Terrasse in O.
Man berechne die Krümmung kappa und die Torsion tau
der Kurve im Nullpunkt.
Bemerkungen
1.
Die Aufgabe lässt sich auf die Aufgabe LF 218 zurückführen.
2.
Bedeutung: die Aufgabe realisiert die Projektionen einer
Raumkurve in der Umgebung eines laufenden Punktes auf
die drei Ebenen des begleitenden Dreibeins.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1128
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 20:58: |
|
Hi megamath,
ich setze x = t, daraus aus I)
y = (1/2) a t^2
aus III)
z = (1/6) a b t^3
Nun sind wir wieder bei der Parametrisierung von LF218! Also K = a und T = b!
Die Projektionen erhält man also indem man aus jeweils zwei Gleichungen den Paramter t entfernt!!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3520
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 21:17: |
|
Hi Ferdi
Das ist der Lösungsweg,den ich erwartet habe!
Morgen erscheint noch ein kleiner
Kommentar dazu.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3521
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 16:29: |
|
Hi Ferdi
Kurzkommentar zur Aufgabe LF 219:
Mit Hilfe des Satzes von Taylor lässt sich der Ortsvektor
r = r(s) des laufenden Punktes P der Rumkurve (TF!)
nach Potenzen der Bogenlänge s entwickeln.
In ersten Näherungen erhält man die in der Aufgabe
angegebene Werte für die einzelnen Vektorkoordinaten;
wir bezeichnen diese im Folgenden mit X,Y,Z.
Bezeichnungen im zugehörigen begleitenden Dreibein:
Tangente;Richtungs-Einheitsvektor r1
Hauptnormale;Richtungs-Einheitsvektor r2
Binormale;Richtungs-Einheitsvektor r3
K:Krümmung
T:Torsion
I)
Lokales (X,Y)-Koordinatensystem,
Basis-Einheitsvektoren r1,r2
Projektion der Kurve auf die Schmiegungsebene (X,Y)
unter Weglassung von Gliedern höheren Grades:
Y = ½ K* X^2,
wegen K>0 nach oben offene Parabel.
II)
Lokales (Y,Z)-Koordinatensystem,
Basis-Einheitsvektoren r2,r3
Projektion der Kurve auf die Normalebene (Y,Z);
unter Weglassung von Gliedern höheren Grades:
Z = 1/6 K T *(2/K)^(3/2)*Y^(3/2),
das ist die Gleichung einer Neilschen Parabel.
III)
Lokales (X,Z)-Koordinatensystem,
Basis-Einheitsvektoren r1,r3
Projektion der Kurve auf die rektifizierende Ebene (X,Z);
unter Weglassung von Gliedern höheren Grades:
Z = 1/6 K T * X^3,
das ist die Gleichung einer kubischen Parabel.
Damit verabschieden wir uns vom begleitenden Dreibein!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
