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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 951
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 19:50: | 
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Hi Leute,
hier ist mal wieder eine Aufgabe aus dem Analysis Alltag:
im folgenden sind (X,dx) und (Y,dy) metrische Räume.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
( Wenn richtig bitte mit Beweis; wenn falsch bitte Gegenbeispiel angeben!)
a) D Teilmenge von X dicht; f: D->Y stetig dann lässt sich f auf ganz X stetig fortsetzen.
b)f:X->Y stetig;D Teilmenge von X dicht in X;
f(X) dicht in Y, so ist f(D) dicht in Y.
Ich persönlich hasse metrische Räume....
aber vileicht kann ja ein kluger Kopf helfen...
vielen Dank jedenfalls schon jetzt dafür!
mfg
Niels |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 956
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Februar, 2004 - 20:21: |
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Hi,
hat niemand ne idee zu dieser Aufgabe?????
Noch ist sie frei zum "Abschuß"....
also bitte wer eine Idee hat melde sich....
mfg
Niels |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1531
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 18:53: |
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b stimmt.
Sei y aus Y. Zeige: y ist HP von f(D).
Da y HP von f(X), existert folge x_n in X mit
lim f(x_n) = y.
Da D dicht in X, ist jedes x_n HP von D. Also existiert für jedes n eine Folge x_n,k in D mit
lim x_n,k = x_n
Betrachte d_n := x_n,n
Dann gilt lim f(d_n) = y |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1532
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 18:56: |
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a stimmt nicht.
Betrachte X = Y = IR, D = IR \ {0} mit der normalen Metrik. Und f(x) = 1/x. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 959
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 21:28: |
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Hi Zaph,
vielen Dank für deine Antwort, muss sie erstmal genau studieren, aber klingt irgendwie plausibel,
Frage:
wie lange hast du an der Lösung geknobelt?
(Die Aufgabe war eine von vielen Aufgaben aus einer alten Klausur; ich möchte mal eine "Expertenmeinung" hören ob solche Aufgaben wirklich so trivial sind das sie in einer Klausur drankommen können....)
mfg
Niels |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1537
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 21:57: |
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Hallo Niels,
es hat nicht sehr lange gedauert, obwohl ich mittlerweile schon einige Jährchen von der Topologie weg bin. Das Aufschreiben hat länger als das Nachdenken gedauert. Aber ich weiß noch, wie man an solche Aufgaben rangeht:
Im IR² bildlich vorstellen und dann allgemein beweisen. Meistens bedeutet das eine Anwendung von Definitionen und einfachen Sätzen. Wenn das nicht sofort funktioniert, dann ein Gegenbeispiel suchen. Das kann manchmal seeehr knifflig werden.
Gruß
Z. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 961
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 16:56: |
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Hi Zaph,
vielen Dank für den Tipp, den werde ich mir merken:-)
mfg
Niels |
