Autor |
Beitrag |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3506 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 15:09: |
|
Hi allerseits Aufgabe LF 216: Für die Durchdringungskurve x^2 + y^2 + z^2 = a^2 x^2 + y^2 = a x (a>0) soll im Punkt Z(0/0/a) die Krümmung kappa ermittelt werden. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3507 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 15:16: |
|
Hi allerseits, Lösungshinweis zu LF 216; man kann die Aufgabe LF 216 (auch) lösen, indem man von der Parameterdarstellung x = a [cos (m)]^2 y = a sin (m) cos (m) z = a sin (m) Gebrauch macht und post festum m = ½ Pi einsetzt. Man benütze den Vektor r = OP von O zum laufender Punkt P(x/y/z),also r = {x(m),y(m),z(m)} und seine erste und zweite Ableitung nach m, d.h. die Vektoren r° = {x°(m),y°(m),z°(m)} und r°° = {x°°(m),y°°(m),z°°(m)} dabei bedeutet z.B. z°° , wie üblich, die zweite Ableitung von z(m) nach m etc. Für die Krümmung kappa darf getrost die Formel kappa = Betrag des Vektorprodukts der Vektoren r° und r°° dividiert durch die dritte Potenz des Betrages von r° !!! benützt werden. Eine andere Methode werde ich später, ebenfalls post festum, vorführen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1118 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 13:12: |
|
Hi, gleich weiter: r = (0/0/a) r' = (0/-a/0) r'' = (2a/0/-a) r' x r'' = (a^2/0/2a^2) |r' x r''| = sqrt(5) * a^2 |r'| = a^3 kappa = sqrt(5) / a Hoffe das ist so alles i.O.! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3510 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 16:34: |
|
Hi Ferdi Das ist alles in bester Ordnung; sowohl die Teilresultate als auch das Schlussresultat sind i.O. Besten Dank! Meine Version kommt später. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3516 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 09. Februar, 2004 - 18:17: |
|
Hi Ferdi Hier kommt meine Lösungsvariante Ich arbeite mit den folgenden Bezeichnungen: Mit der Bogenlänge s als Parameter: ux ist die erste Ableitung von x(s) nach s, also ux = dx/ds uy ist die erste Ableitung von y(s) nach s, also uy = dy/ds uz ist die erste Ableitung von z(s) nach s, also uz = dz/ds vx ist die zweite Ableitung von x(s) nach s, vy ist die zweite Ableitung von y(s) nach s, vz ist die zweite Ableitung von z(s) nach s. Für die sechs Unbekannten ux,uy,uz,vx,vy,vz stellen wir sechs unabhängige Gleichungen auf. Wir gehen aus von den beiden Flächengleichungen x^2 + y^2 + z^2 = a^2 …………………………………………...(I) x^2 + y^2 = a x …………………………………………………………(II) deren Durchdringungskurve c im Punkt P(0/0/a) zu untersuchen ist. Ableitung von (I) nach s: x * ux + y * uy + z * uz = 0…………………………….(1) Ableitung von (II) nach s: (2 x - a) * ux + 2y * uy = 0……………………………(2) Ableitung von (1) nach s mit Produktregel: (ux)^2+(uy)^2+(uz)^2 + x * vx + y * vy + z * vz = 0….(3) Ableitung von (2) nach s mit Produktregel: 2 * (ux)^2 +2 * (uy)^2 + (2x-a) * vx +2y * vy = 0…...(4) hinzu kommen noch die Gleichungen: (ux)^2 + (uy)^2 + (uz)^2 = 1……………………………(5) ux * vx + uy * vy + uz * vz = 0 ………………………...(6) Setzt man die Koordinatenwerte ein und löst das System auf, so kommt: ux = 0 , uy = 1 , uz = 0 vx = 2 / a , vy = 0 , vz = - 1/a ,daraus entsteht: kappa = sqrt (4/a^2 + 1/a^2) = sqrt(5) / a , BRAVO ! MfG H.R.Moser,megamath
|
|