Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Lockere Folge 216 : Krümmung einer Du...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Lockere Folge 216 : Krümmung einer Durchdringungskurve « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3506
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 15:09:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 216:

Für die Durchdringungskurve

x^2 + y^2 + z^2 = a^2
x^2 + y^2 = a x (a>0)

soll im Punkt Z(0/0/a)
die Krümmung kappa
ermittelt werden.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3507
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 15:16:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Lösungshinweis zu LF 216;
man kann die Aufgabe LF 216 (auch) lösen, indem man von der
Parameterdarstellung

x = a [cos (m)]^2
y = a sin (m) cos (m)
z = a sin (m)

Gebrauch macht und post festum m = ½ Pi einsetzt.

Man benütze den Vektor
r = OP von O zum laufender Punkt P(x/y/z),also
r = {x(m),y(m),z(m)} und seine erste und zweite Ableitung nach m,
d.h. die Vektoren
r° = {x°(m),y°(m),z°(m)} und
r°° = {x°°(m),y°°(m),z°°(m)}
dabei bedeutet z.B. z°° , wie üblich, die zweite Ableitung
von z(m) nach m etc.

Für die Krümmung kappa darf getrost die Formel

kappa = Betrag des Vektorprodukts der Vektoren r° und r°°
dividiert durch die dritte Potenz des Betrages von r° !!!

benützt werden.

Eine andere Methode werde ich später, ebenfalls post festum,
vorführen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1118
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 13:12:   Beitrag drucken

Hi,

gleich weiter:

r = (0/0/a)
r' = (0/-a/0)
r'' = (2a/0/-a)

r' x r'' = (a^2/0/2a^2)
|r' x r''| = sqrt(5) * a^2
|r'| = a^3

kappa = sqrt(5) / a

Hoffe das ist so alles i.O.!

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3510
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 16:34:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Das ist alles in bester Ordnung;
sowohl die Teilresultate als auch das Schlussresultat
sind i.O.

Besten Dank!
Meine Version kommt später.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3516
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 09. Februar, 2004 - 18:17:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Hier kommt meine Lösungsvariante
Ich arbeite mit den folgenden Bezeichnungen:

Mit der Bogenlänge s als Parameter:

ux ist die erste Ableitung von x(s) nach s, also
ux = dx/ds

uy ist die erste Ableitung von y(s) nach s, also
uy = dy/ds

uz ist die erste Ableitung von z(s) nach s, also
uz = dz/ds

vx ist die zweite Ableitung von x(s) nach s,

vy ist die zweite Ableitung von y(s) nach s,

vz ist die zweite Ableitung von z(s) nach s.


Für die sechs Unbekannten
ux,uy,uz,vx,vy,vz stellen wir sechs unabhängige
Gleichungen auf.

Wir gehen aus von den beiden Flächengleichungen
x^2 + y^2 + z^2 = a^2 …………………………………………...(I)
x^2 + y^2 = a x …………………………………………………………(II)

deren Durchdringungskurve c im Punkt P(0/0/a)
zu untersuchen ist.

Ableitung von (I) nach s:
x * ux + y * uy + z * uz = 0…………………………….(1)
Ableitung von (II) nach s:
(2 x - a) * ux + 2y * uy = 0……………………………(2)

Ableitung von (1) nach s mit Produktregel:
(ux)^2+(uy)^2+(uz)^2 + x * vx + y * vy + z * vz = 0….(3)

Ableitung von (2) nach s mit Produktregel:
2 * (ux)^2 +2 * (uy)^2 + (2x-a) * vx +2y * vy = 0…...(4)

hinzu kommen noch die Gleichungen:
(ux)^2 + (uy)^2 + (uz)^2 = 1……………………………(5)

ux * vx + uy * vy + uz * vz = 0 ………………………...(6)

Setzt man die Koordinatenwerte ein und löst
das System auf, so kommt:
ux = 0 , uy = 1 , uz = 0
vx = 2 / a , vy = 0 , vz = - 1/a ,daraus entsteht:

kappa = sqrt (4/a^2 + 1/a^2) = sqrt(5) / a , BRAVO !

MfG
H.R.Moser,megamath

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page