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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3484 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 18:00: |
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Hi allerseits, In Aufgabe LF 210 die Torsion tau der Schraubenlinie berechnet werden. Es folgt die Beschreibung des Begriffs der Torsion einer Raumkurve. Vorausgesetzt wird im folgenden, dass die Raumkurve mit Hilfe der Bogenlänge s dargestellt ist: Ortsvektor r des laufenden Punktes P der Kurve: r = r(s) = {x(s),y(s);z(s)} daraus: v = r´ ist die Ableitung des Vektors r nach s (Tangentenvektor): v = {x°(s);y°(s);z°(s)} w = r´´ ist die Ableitung des Vektors v nach t (Beschleunigungsvektor) w = {x°°(s);y°°(s);z°°(s)} Wir werden Gebrauch machen von der Beziehung w = dv/ds = kappa * n …………………………………………………………(F1) Dabei ist kappa die Krümmung und n der Normaleneinheitsvektor der rektifizierenden Ebene. Der Binormalenvektor (Normalenvektor der Schmiegungsebene) b ist das Vektorprodukt der Vektoren v und n. b = v x n. Auch b ist Einheitsvektor, somit b ^ 2 = 1 (Skalarprodukt des Vektorproduktes mit sich). Die Ableitung der letzten Gleichung nach s gibt b b´ = 0 (b steht auf b´ senkrecht)....................................................................(1) Auch die Vektoren b und v stehen aufeinander senkrecht, ihr Skalarprodukt ist null. Aus b v = 0 folgt durch Ableitung nach s (Produktregel): b´ v + b v´ = 0, oder v * db/ds = - b *dv/ds, also (verwende F1): v * db/ds = - b *dv/ds = - kappa * b n = 0 , denn b und n sind orthogonal! Schluss: Der Vektor db/ds steht senkrecht auf dem Vektor v und a priori auch auf dem Vektor b, also ist er parallel zum Vektor n; wir können ansetzen: db/ds = - tau * n……………………………………………………………(F2) tau wird per definitionem als Torsion oder Windung der Kurve in P bezeichnet. Anm. 1. db/ds drückt die Richtungsänderung der Binormalen oder auch die Drehung der dazu senkrechten Schmiegungsebene um die Tangente als Achse beim Lauf des Punkte P auf der Kurve aus. Je nachdem b parallel oder antiparallel zum Vektor b ist, wird tau negativ oder positiv. tau > 0: die Kurve heißt rechts gewunden, tau < 0: die Kurve heißt links gewunden, Der Betrag von kappa misst die Größe dieser (Ver)drehung. 2. Die Gleichungen F1 und F2 bilden Bestandteil der so genannten Frenetschen Gleichungen, benannt nach Jean Frédéric Frenet (1816-1900). Die Aufgabe LF 210 lautet: Man berechne die Torsion für die Schraubenlinie x = a cos t , b = a sin t , z = b t. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3485 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 18:59: |
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Hi allerseits unter Punkt 1. der Anmerkungen muss es richtig heissen: "Der Betrag von tau misst die Größe dieser Drehung."........... MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1108 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 21:47: |
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Hi megamath, kann es sein, dass: tau = b / (a^2 + b^2) ?? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3487 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 14:36: |
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Hi Ferdi Dein Resultat ist richtig; congratulation! Im Gegensatz zur Krümmung einer Raumkurve kann ihre Torsion auch negative Werte annehmen. Gemeine Schraubenlinie (helix vulgaris): Für positive b-Werte ist tau positiv; wir haben eine Rechtsschraube. Für negative b-Werte ist tau negativ; wir haben eine Linksschraube. Bei einer Schraubenlinie sind sowohl kappa als auch tau konstant. Wir werden bald andere Raumkurven kennen lernen, bei denen diese Eigenschaft nicht mehr zutrifft. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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