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Stefan26 (Stefan26)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Stefan26
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Januar, 2004 - 21:52: | 
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Gehört sicher besser in Algebra, aber Algebra mag ich nicht so...
Ich hab nie richtig verstanden was F[x]/p(x) konkret ist. F ist ein endlicher Körper (z.B. Z2={0,1}), also F[x] der zugehörige Polynomring. p(x) ein Polynom
Ein Dozent sagte mal F[x]/p(x) ist die Menge aller
Polynome in F[x] vom Grad kleiner als p(x).
Dann könnte man also p(x) durch p(x)+1 ersetzen.
Ist das so? Muß p(x) irreduzibel sein?
Bitte keine abstrakten algebraischen Erklärungen... |
Laikalou (Laikalou)
Mitglied
Benutzername: Laikalou
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 06:36: |
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Hi Stefan!
also das, was Dein Dozent gesagt hat, habe ich auch so verstanden. Du rechnest ja "Modulo". Da ich nicht weiß, wieviel Erfahrung Du mit Modulo hast, versuch ichs nochmal genau zu sagen. wenn Du etwas modulo rechnest, existiert alles nur bis zu einem bestimmten Grad ...danach wird es wieder mit den vorigen identifiziert. Deshalb bekommst Du dann Äquivalenzklassen. Bsp. wir befinden uns in Z2, da gibt es 2 Elemente, wie Du schon festgestellt hast, die nicht miteinander identifiziert werden. das sieht dann so aus:
0=0, 1=1, 2=0, 3=1, 4=0, 5=1, .....usw.
Du teilst (solange wie möglich) durch Deine "Modulo-Zahl"....und der Rest ist dann der kleinste Vertreter der Äquivalenzklasse. Hier: 2/2=1 ende, 4/2=2 2/2=1 ende, deshalb ist 0~2~4...usw. deshalb gibts die Äquivalenzklassen 0 und 1.
und das kannst Du Dir jetzt mit den Polynomen genausovorstelle....also ähnlich. alle Polynome, die höheren Grades als p(x) sind, werden äquivalent zu solchen, die in bestimmtem Maß kleiner sind.
Ich stell mir das so vor: (kanns aber nicht bestätigen, meine Ansicht) Du nimmst Dir ein beliebiges Polynom in F[x] teilst das so oft es geht durch dein festgelegtes p(x) und dann hast Du, wie oben, die Äquivalnezklasse. so ungefähr.
Ist das verständlicher geworden?
Ich weiß momntan leider nicht mehr was irreduzibel bedeutet (muss auch noch für diese Prüfung lernen (Zahlentheorie), deshalb sag ich da einfach nix zu....sorry! ;-))
Gruß, Barbara |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 774
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 09:13: |
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Stefan,
F[x] ist die Menge aller Polynome (in x) mit Koeffizienten aus F. Nun betrachten wir folgende
Relation in F[x] :
f(x) äquiv. g(x) :<=> p(x) | (f(x) - g(x)).
Dies ist eine Aequivalenzrelation, d.h. reflexiv, symmetrisch und transitiv. Dadurch zerfällt F[x] in
Aequivalenzklassen . Bezeichnen wir die Aequivalenz
klasse von f(x) mit <f(x)>, so ist also
<f(x)> = {f(x) + q(x)p(x) | q(x) e F[x] }
Beispiel : p(x) = x2+1
x3 äquiv. -x denn x3-(-x) = x(x2+1) =>
<x3> = <-x>
= { -x + q(x)(x2+1) | q(x) e F[x] }
Die Aussage deines Dozenten : F[x]/p(x) = Menge aller
Polynome vom Grad < Grad(p(x)) ist zumindest irreführend. Man kann höchstens sagen: In jeder
Aequivalenzklasse <f(x)> gibt es einen Repräsentanten
r(x) mit Grad(r(x)) < Grad(p(x)). Den findet man, indem
man f(x) mit Rest durch p(x) dividiert (Divisionsalgorithmus):
f(x) = q(x) p(x) + r(x) , r(x)=0 oder Grad(r(x)) < Grad(p(x)) =>
<f(x)> = <r(x)>.
Indem man Summe und Produkt "repräsentantenweise"
d.h. durch
<f(x)>+ / * <g(x)> := <f(x) + / * g(x)>
definiert, wird F[x]/p(x) zu einem kommutativen Ring
(Nullelement ist <0> = <p(x)>),dieser ist sogar ein Körper wenn p(x) über F
irreduzibel (unzerlegbar) ist. So ist z.B.
R[x]/(x2+1) = C der Körper der komplexen
Zahlen.
Man darf keinesfalls p(x) durch p(x) + c ersetzen.
Z.B. ist R/(x2-1) kein Körper, denn es treten
Nullteiler auf : <x-1>*<x+1> = <x2-1> = <0>.
mfG Orion
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