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No_dau (No_dau)
Neues Mitglied
Benutzername: No_dau
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 04:24: | 
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Hi und Hallo
sorry, das ich euch mit meinem ersten Beitrag sofort so eine schwere Kost vorlege, aber lest selber:
Mein Problem besteht darin, das ich mich mit dem (a^n+b^n)=c^n Problem beschäftige, welches von Fermat so augedrückt wurde:
(x^n + y^n) = z^n (Fermat'sches Tripel)
es gibt keine ganzzahlige Lösung für n größer als 2, wenn x,y,z,n Element aus N
soweit so gut, eine Möglichkeit, das zu widerlegen habe ich (wen wunderts) bisher nicht gefunden, aber ich beschäftige mich gerne damit. Dabei sind allerdings einige neue Probleme des Mathematischen Verständnisses meinerseits aufgekommen, die ich gerne mit euch teilen möchte =)
Ich weiss, das bei einer Gleichung wie (a^3+b^3)=c^3 keine ganzzahlige Lösung gibt. Also befasse ich mich mit den rationalen Zahlen, die für c herauskommen. Und genau in diesen Zahlen liegt mein Problem.
man betrachte zB. die folgenden Gleichungen:
2^3+2^3=c^3 | c=2,519842099789750
2^3+3^3=c^3 | c=3,271066310188590
2^3+5^3=c^3 | c=5,104468722001460
...
2^3+101^3=c^3 | c=101,000261411603000
soweit bestimmt nichts ungewöhnliches, da 2^3 als Konstante dient und b^3 quasi in der Menge der Primzahlen gegen Unendlich wächst, verliert der Einfluss von 2^3 an Bedeutung und c nähert sich für b --> OO einer ganzen Zahl an.
Und egal, welchen konstanten Faktor ich nehme, an der Tatsache, das sich c irgendwann einer ganzen Zahl annähert ändert sich nichts, was auch rein logisch richtig ist.
nun betrachte man die nachstehenden Gleichungen:
61^3+61^3=c^3 | c=76,855184043587300
61^3+67^3=c^3 | c=80,811735706742600
es sieht so aus, als ob es sich genau so verhält wie oben, aber schauen wir mal weiter:
61^3+71^3=c^3 | c=83,629319020563500
sieht auch noch ok aus
61^3+73^3=c^3 | c=85,086325217333200
fällt von der Betrachtung her schon etwas aus dem Rahmen, wäre aber ok
61^3+79^3=c^3 | c=89,628924813227100
...
61^3+277^3=c^3 | c=277,982582625981000
erst ab hier wird sich c wieder einer ganzen Zahl annähern, je grösser b wird. Das bedeutet (ist mir grade erst klar geworden, aber immerhin hab ich es bemerkt), das sich c erst dem grösseren Faktor annähert, und wenn dieser Faktor als Vorkommazahl erreicht ist, nähert sich c dem grösseren Faktor als Ganzzahl (b) an.
Jetzt einfach mal meine Frage (eine hat sich bereits geklärt, während ich diesen Text verfasste),
Gibt es eine Möglichkeit, schnell festzustellen, ab welchem Faktor b sich c an b soweit annähert, das sich ab diesem Punkt nurnoch die Nachkommastellen verändern und gegen 0 streben?
in dem Fall a=2 ist es ja bereits b=2, was aus den ersten Gleichungen hervor geht, aber bei a=61 ist es b=277, wie sich aus den letzten Gleichungen ablesen lässt. Kann ich auf diese 277 kommen, ohne alle vorherigen b's durchzutesten?
Beispiel: ich wüsste gerne, ab wann sich c einer ganzen Zahl annähert, wenn ich a = 401 nehme.
mfg,
Christian
ps: diese Problem besteht nicht nur für a & b = Primzahlen, sondern generell für a & b Element {N / 0} und ich haber bisher keinen guten Lösungsansatz dafür gefunden.
(Beitrag nachträglich am 26., Januar. 2004 von no_dau editiert) |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1944
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 09:10: |
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Ein schöne, interessante Aufgabenstellung!
es muss also
a^3 + b^3 = (b + 1/u)^3 mit u > 1 erfüllt sein
a^3 = 3b^2/u + 3b/u^2 + 1/u^3
a^3*u^3 = 3b^2*u^2 + 3b*u + 1
das ist also eine Quadratische Gleichung in b
in
deren Lösung man dann ein u > 1 einsetzt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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No_dau (No_dau)
Neues Mitglied
Benutzername: No_dau
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 23:52: |
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danke, hab mir auch viel mühe gegeben.
Hab das mit der Quad. Gleichung mal ausprobiert:
zB. für 61
a^3*u^3 = 3b^2*u^2+3b*u+1
die Umformung bis hier hin war kein Problem, eigentlich hätte ich das auch selber sehen können *ärger*
ok, weiter, u wir komplett aus der Gleichung entfernt und der Rest in eine Quadratische Gleichung in Normalform umgewandelt, richtig?
also nach Umformung:
0 = b^2 + b + (1/3 - 61^3/3)
also:
b1 = -1/2 + Wurzel(1/4 -(1/3 - 61^3/3))
b2 = -1/2 - Wurzel(1/4 -(1/3 - 61^3/3))
also:
b1 = 274,5640834
b2 = -275,5640834
b2 fällt aber raus, das wir uns nur im Bereich der pos. Zahlen bewegen.
damit liege ich mit b1 = 274,5640834 sehr nah an dem gesuchten b dran, aber b soll ja 277 sein, weil ja gefordert ist: c = b + 1/u mit u > 1
wie komme ich auf das genaue b, es kann ja nicht sein, das ich den Wert für b schätzen muss, da ich dann für Zahlen wie zB. 979923411 immer noch einen riesigen Zahlenbereich hätte, den ich durchsuchen muss, da die Ungenauigkeit mit steigendem b auch immer grösser wird.
edit:
ist nicht die Tatsache, das a^n + b^n = c^n mit a,b,c,n Element N gefordert ist und immer gilt:
c = (b + 1/u) mit u <> 1 und wenn sich u ausserdem nach a richtet, ob es grösser oder kleiner als 1 ist, dann ist Fermat doch schon bewiesen oder nicht, da u niemals 1 wird.
Wenn ich da einen gedanklichen Fehler drin hab, verzeiht mir. bin grad etwas durch den Wind, aber eigentlich erscheind mir das logisch.
mfg Christian
(Beitrag nachträglich am 28., Januar. 2004 von no_dau editiert) |
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