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Pferdi (Pferdi)
Neues Mitglied
Benutzername: Pferdi
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 16:13: | 
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Ich habe für das oben angegebene Integral zuerst die obere Grenze mit "R" ersetzt und x^2 durch t substituiert.
Damit erhalte ich ein Integral von 0 bis R²:
sin (t) * 1/(2*Wurzel(t)) dt
mit part. Integration habe ich dann bekommen:
sin (t) * Wurzel(t) - Integral(cos (t) * Wurzel (t)
Da erneute part. Integration zu nichts zu führen scheint, weiß ich nicht weiter. |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1092
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 17:34: |
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Hi,
da hilft keine Substitution, da hilft nur die Gammafunktion! Kennst du sie? Damit kann man leicht zeigen das der Wet deines Integrals gleich (1/2)*sqrt(pi/2) ist!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3440
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 17:48: |
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Hi Pferdi
Du kannst sogar etwas verallgemeinern,nur ein
bisschen:
R =int[sin(ax^n) dx], unten 0, oben unendlich,
für n >1 kommt:
R = 1/[n(a)^(1/n)] * GAMMA(1/n)* sin(Pi/(2n))
Die Lösung von Ferdi ist darin enthalten !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1095
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 18:07: |
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Hi megamath,
ich habe auch an das gleiche Integral gedacht. Ich glaube wir hatten es vor ein paar Monaten in unserer LF Serie bearbeitet! Pferdi du kannst ja mal hier im Forum suchen!!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3445
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 21:08: |
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Hi Pferdi,
Du bewegst Dich mit Deiner Frage auf einem
ziemlich anspruchsvollen Gebiet der Analysis!
Das angegebene Integral gehört zu den so genannten
Fresnel-Integralen (Augustin Jean Fresnel,1788-1827)
Ich zeige Dir eine mögliche Herleitung, ohne explizit
von der Gammafunktion Gebrauch zu machen.
Da wir in diesem Forum die GAMMA -Funktion
hochhalten und sogar Festtage inszenieren,
bei denen GAMMA im Zentrum steht,
möge man mir dies nicht übel nehmen.
Bei der Methode, die ich vorführen werde, wird der Hut
von einem Haken auf den andern gehängt:
das gegebene Integral wird auf ein anderes, bekannteres
zurückgeführt.
Das Resultat sei vorweggenommen; es gilt:
INT(0 bis unendlich)[cos(x^2).dx] =
INT(0 bis unendlich [sin(x^2).dx] =
(Pi/8)^ (1/2)
°°°°°°°°°°°°°
Herleitung:
Wir führen dieses Integral direkt auf das
bekannte Gausssche Fehlerntegral zurück,
das so lautet:
J = integral über e^(-x^2) dx
von 0 bis unendlich mit dem Ergebnis
J = 1/2 wurzel(Pi)
Wir benützen zunächst die Formel
cos(x^2) = sin(Pi/2-x^2)
Die rechte Seite stimmt mit dem
Imaginärteil von
e^(i.(pi/2 - x^2)) überein.
Dies hinwiederum ist der Imaginärteil
von e^(i.pi/2) e^(-i.x^2)
Den konstanten Faktor ziehen wir vor das
Integral,der Rest ist vorgezeichnet.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3446
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 11:37: |
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Hi Pferdi,
Ferdi hat Recht!
Wir haben in diesem Forum (wo sonst?)
am 10.11.2003 in der Aufgabe LF 89 das
Wesentliche gezeigt!
Auf ins Archiv!
Die Teilaufgabe LF 89a)lautete:
Drücke das uneigentliche Integral
J = int [ sin x / x^p * dx] , 0 < p < 1
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich,
mit Hilfe von Werten der Gammafunktion aus .
Das Ergebnis lautet:
J = Pi / [ 2 * GAMMA(p) * sin( [p * Pi] / 2 )]
Wie finden wir nun den Anschluss an das von Dir vorgelegte
Integral Pf = INT(0 bis unendlich [sin(x^2).dx] ?
Das geht so:
Zunächst substituieren wir im Integral Pf
x^2 =t , also 2 x dx = dt , Grenzen unverändert
In der neuen Integrationsvariablen t kommt :
Pf = ½ * INT(0 bis unendlich [sin(t) / wurzel(t). dt]
Das ist ein Integral vom Typ J:
Setze dort p = ½ ein, und Du bist am Ziel.
Es entsteht:
Pf = ½* Pi / ( 2 * GAMMA(1/2) * sin( Pi / 4 )
Da bekanntlich GAMMA (1/2) = wurzel(Pi) gilt,
erhalten wir:
Pf = (Pi/8)^ (1/2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Pferdi (Pferdi)
Neues Mitglied
Benutzername: Pferdi
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 21:12: |
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Besten Dank!
Ich hatte zuerst nicht gewußt, wie man hier die Gammafunktion anwenden kann und überlegt, ob man mit de Moivre entsprechend umformen kann. Jetzt weiß ich auf jeden Fall Bescheid. |
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