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Beitrag |
    
Cornelius (Cornelius)
Junior Mitglied
Benutzername: Cornelius
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 00:41: | 
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Hi!
Ich bin grad etwas verwirrt hier mit meiner Aufgabenstellung. Ich habe folgende Funktion gegeben:
x^a * exp(-x^2)
Die zweite Ableitung schaut folgendermaßen aus:
x^a * exp(-x^2) * (a^2/x^2-4a+4x^2-a/x^2-2)
Laut Aufgabenstellung soll die Anzahl der WP von a abhängen, nur komme ich komischerweise auf 4 WP, die zwar von a abhängen, aber es sind eben exakt 4 und nicht 4a oder sowas...
Wo liegt mein Fehler?
Gruß
Cornelius
(Beitrag nachträglich am 25., Januar. 2004 von Cornelius editiert) |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1943
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 09:13: |
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Es ergibt sich eine quadratische
Gleichung in der Unbekannten (x2)
Erstens muß, damit es WP gibt
x2>0 gelten,
und
die Diskriminante ( Der Zähler des Ausdrucks
unter der Quadratwurzel ) > 0 sein .
Es sind also nicht beliebige a möglich
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 764
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 10:40: |
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Cornelius,
Nach meiner Rechnung ist (rechne nach !):
f''(x) =
[4x4 - 2(2a+1)x2 + (a(a-1)] xa-2e-x2.
Es kommt auf die Anzahl der Nullstellen des Termes
in [ ] an, dieser lässt sich so schreiben:
[2x2 - (2a+1)/2]2 - (8a+1)/4
(quadratische Ergänzung). Die Anzahl der Nullstellen
sei N(a). Jetzt hat man eine Fallunterscheidung
vorzunehmen:
1. a < - 1/8 : N(a) = 0.
2. a = - 1/8 : N(a) = 2 ( x1,2 = ±sqrt(3)/4 ).
3. a > -1/8 : .....: jetzt kommt es noch auf das Vorzeichen von 2a+1 an : rechne selbst !
Auch wenn du für N(a) keinen expliziten Funktionsterm
hast, so ist N eben doch eine Funktion von a , ihr
Wertevorrat ist die Zahlenmenge {0, 2, 4}
mfG Orion
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Cornelius (Cornelius)
Junior Mitglied
Benutzername: Cornelius
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 12:21: |
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Also hängt die Anzahl der Nullstellen (N(a)) nur davon ab, ob das Restglied der quadratischen Ergänzung größer, kleiner oder gleich Null ist, hab ich das richtig verstanden?
Danke!!!
gruß Cornelius |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 765
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 14:35: |
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Cornelius,
Sagen wir's etwas einfacher:
Wie du leicht nachrechnest, lauten die 4 Nullstellen
formal
x = ±(1/2)sqrt[2a+1 ±sqrt(8a+1)]
Damit N(a) =4 ist, muss also 8a+1 > 0 u n d
2a+1 > sqrt(8a+1) sein. Das ist genau dann der Fall,
wenn
- 1/8 < a < 0 oder a > 1
ist
mfG Orion
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