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Rang von Matrizen

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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 929
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 15:01:   Beitrag drucken

Hallo,

hier ist eine Aufgabe, bei der ich Probleme habe:

Im folgenden sei mit Kn die nxn Matrizen über den Körper K bezeichnet.

Sei A,B Elemente aus Kn

Behauptung:

Genau dann ist Rang(A)< n wenn ein B (B ungleich Null) existiert, so das gilt AB=0.

Wie beweise ich diese Aussage am besten.

Ich weis, das wenn Rang(A)< n gilt, das A nicht invertierbar ist, wie kann ich diese Tatsache am besten für den Beweis gebrauchen?

wäre für eure Hilfe Dankbar!

mfg

Niels
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 251
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 15:21:   Beitrag drucken

Hi,
nimm dir einen Vektor ungleich Null aus dem Kern von A: Wenn Rang A < n dann ex. ein v!=0 mit Av=0. Das v kannst du mit Nullen zu einem B auffüllen, so dass AB=0 ist.
Umkehrung: Wenn A vollen Rang hat und folglich invertierbar ist, ist AB=0 gleichbedeutend mit B=0.
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 930
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 24. Januar, 2004 - 19:10:   Beitrag drucken

Hi Sotux,

jetzt wo du es sagst klingt das logisch, wieso bin ich nicht darauf gekommen...

ich werde es mal versuchen so aufzuschreiben, wenn ich noch Fragen haben sollte, dann melde ich mich wieder...

vielen Dank jedenfalls für deine Hilfe!

mfg

Niels
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 935
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 08:17:   Beitrag drucken

Hi Sotux,

könntest du bitte deine Argumentation noch etwas näher ausführen?

Wie formalisiere ich am besten, das ich mein V zu einem B auffüllen kann?

mfg

Niels?
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 253
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 20:33:   Beitrag drucken

Hi Niels,
die Matrix AB besteht aus den Spalten Abi wenn die bi die Spalten von B sind. Wähle b1=v, bi=0 sonst. Sei nun w=(w1,....,wn) aus Rn beliebig, dann ist
(AB)w = A(Bw) = A(w1*b1) = w1*Ab1 = 0, also AB = 0.

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