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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3410
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 13:49: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe ZF 199 soll den Reigen der Aufgaben
über Quadriken abschliessen.
Sie lautet:
Gegeben ist das Rotationshyperboloid
x^2 + y^2 + z^2 – 2 x y – 2 y z – 2 z x – a^2 = 0
Wie lautet die Gleichung der Normalprojektion des
Kehlkreises dieser Fläche auf die (x, y) -Ebene ?
Man berechne auch den Radius des Kehlkreises.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3417
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 14:34: |
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Hi allerseits
Eine Lösungshilfe ist wohl angebracht.
Man stelle so oder so fest, dass die Gerade
x = y = z die Rotationsachse der Fläche ist, entweder
durch eine intensive Meditation mit genauem Hinsehen
oder, indem man ganz schnell die Eigenwerte
und Eigenvektoren der quadratischen Form
ermittelt.
Tut man Letzteres, so ist auch der Radius r des Kehlkreises
sofort ersichtlich; es gilt: r^2 = a^2 / 2.
Beachte, dass der Kehlkreis in der Ebene x+y+z = 0 liegt.
Damit findet man leicht die Projektion der
Normalprojektion des Kehlkreises der Fläche
auf die (x, y)-Ebene und nochmals den Radius r
als grosse Halbachse der involvierten Ellipse.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1086
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 17:17: |
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Hi megamath,
ich hatte gestern abend bereits das Ergebniss, doch dann hat mich die Müdigkeit und die Faulheit übermannt und ich habs nicht mehr ins Netz gestellt, bald ist Wochenende, da können wir wieder schaffen, tu ich es nun:
Durch die Koordinatendrehung erhalten wir die Gemischtglied freie Gleichung:
2X^2 + 2Y^2 - Z^2 = a^2
wobei 2 und -1 die Eigenwerte der Matrix sind!
Der Kehlkreisraius ist hier ja leicht abzulesen!!
X^2 + Y^2 = a^2/2 q.e.d
Eliminiert man nun aus der Hyperboloid und der Ebenengleichung z so erhält man:
4x^2 + 4xy + 4y^2 = a^2
Dies kann wiederum auf eine Normalformbringen:
2X^2 + 6Y^2 = a^2
mit den Halbachsen a = a/sqrt(2) und b = a/sqrt(6) q.e.d.
Man kann b auch über die bekannte Formel:
b = r * cos(phi) berechnen! Wobei phi der Winkel zwischen E und der xy-Ebene ist und r der Radius!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3418
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 18:11: |
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Hi Ferdi
Danke,das ist alles in bester Ordnung.
MfG
H.R.Moser,megamath |
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