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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3390 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Januar, 2004 - 21:46: |
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Hi allerseits Die Aufgabe LF 191 ist eine Verallgemeinerung der Aufgabe LF 189. Im Paraboloid q y^2 + p z^2 – 2 x = 0 sind die Koeffizienten p und q gegeben und nicht null. P1(x1/y1/z1) ist ein laufender Punkt dieser Fläche. Man bestimme für alle möglichen Lagen von P1 auf dem Paraboloid diejenige Fläche, welche von der Polarebene von P1 bezüglich der Kugel x^2 + y^2 + z^2 = r^2 umhüllt wird. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3395 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Januar, 2004 - 09:08: |
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Hi allerseits Lösung der Aufgabe LF 191: P1(x1/y1/z1) liegt auf dem Paraboloid; dann gilt q y1^2 + p z1^2 – 2 p q x1 = 0, Auflösung nach x1: x1 = 1/2p y1^2 + 1/2q z1^2. Polarebene bezüglich der Kugel mit P1 als Pol x1 x + y1 y + z1 z – r^2 = 0 x1 wird ersetzt durch den Term in der dritten Zeile: (1/2p y1^2 + 1/2q z1^2 ) x + y1 y + z1 z – r^2 = 0 Die linke Seite werde mit F bezeichnet: F = (1/2p*y1^2 + 1/2q*z1^2) x + y1 y + z1 z – r^2 F = 0 ist die Gleichung einer Ebenenschar mit y1 und z1 als Parameter. Die gesuchte Fläche ist die Enveloppe dieser Schar. Wir finden ihre Gleichung, indem wir F(y1, z1) je partiell nach y1 und z1 ableiten und diese Ableitungen jedes Mal null setzen Ableitung nach y1: 1/p y1 x + y = 0 daraus y1 = - p /x * y, wie in der Aufgabe LF 190. Ableitung nach z1: 1/q z1 x + z = 0 daraus z1 = - q /x * z, wie in der Aufgabe LF 190. Wir sind bereits am Ziel, wenn wir den Schluss der Lösung der Aufgabe LF 190 heranziehen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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