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Fraggy (Fraggy)
Junior Mitglied
Benutzername: Fraggy
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 18:02: | 
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Hallo.
Ich habe bei diesen zwei Aufgaben Probleme. Ich weiß nicht, wie ich da was zeigen soll. Ich hab auch keine Beispielaufgaben oder so zum Nachschlagen, da ich dummerweise die letzte Zeit krank war und jetzt richtig hinterher hänge!
1. Aufgabe:
Ist die folgende Matrix über IR bzw. C diagonalisierbar?
(3 2 -1)
(2 6 -2)
(0 0 2)
Wie muß man vorgehen, um das zu zeigen?
2. Aufgabe:
Bestimme die Eigenwerte und Eigenräume der folgenden Matrix.
(1 -4 -4)
(0 3 2)
(0 -1 0)
Hier weiß ich auch nicht, ob ich das richtig angefangen habe. Ich habe gelesen, dass a € IR Eigenwert der Matrix A ist, wenn det(A-a*I_3)=0 ist, wobei I_3 die Einheitsmatrix des IR³ bezeichne. Wenn ich das dann richtig angewendet habe kommt a=1 und a=2 als Ergebnis raus, ja? Was muß ich nun zeigen???
Wäre super, wenn mir jemand das schnell und anschaulich erklären kann. Ich hab heute erst den Zettel bekommen (war ja krank!) und soll morgen schon abgeben!!! |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 767
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 00:55: |
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Zu später Stunde die hoffentlich rettenden Antworten.
Du hast richtig verstanden, daß Eigenwerte Lösungen der Gleichung det(A-aI)=0 sind. Das Polynom, welches sich aus der Determinante det(A-aI) ergibt, nennt man charakteristisches Polynom. Seine Nullstellen sind die Eigenwerte der Matrix.
Der Eigenraum widerum ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems A-aI=0.
Ferner ist eine Matrix diagonalisierbar, wenn der zu betrachtende Vektorraum eine Basis aus Eigenvektoren besitzt. Du musst also nur schauen, ob diese Eigenschaft zutrifft.
Im ersten Fall lautet das charakteristische Polynom (t-1)(t-8)(t-2). A hat also drei verschiedene Eigenwerte und somit existiert eine Basis aus Eigenräumen. Sie ist also sowohl über IR als auch C diagonalisierbar.
Im zweiten Fall lautet das char. Polynom (x-1)²(x-2). Es gibt nur zwei Eigenwerte. Wäre hier auch nach diagonalisierbarkeit gefragt, müssten wir uns den Eigenraum zum Eigenwert 1 anschauen und prüfen, ob er zweidimensional ist.
Das war jetzt vermutlich nicht sehr anschaulich, aber in Anbetracht der Kürze der Zeit sollte es reichen, um Dir bei der Lösung behilflich zu sein.
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