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Hauptachsentransformation

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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 337
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 22:38:   Beitrag drucken

Hi,

Gegeben ist ein Zylinder mit der Gleichung

x2+y2+z2-xy-xz-yz-37.5=0.

Ich möchte eine Hauptachsentransformation durchführen...


Soweit bin ich bisher gekommen:


det(A-l*E)=l3-3*l2+9/4*l=0

Die Eigenwerte sind also

l1=0 und l2=l3=3/2.


Aus det(A-l1*E)x=0 erhalte ich den normierten Eigenvektor

x1=1/sqrt(3)*(1,1,1),

aus det(A-l2*E)x=0 bzw. det(A-l3*E)x=0 die normierten Eigenvektoren

x2=1/sqrt(2)*(-1,1,0) und x3=1/sqrt(2)*(-1,0,1)


Leider weiß ich nun nicht weiter,bzw. verstehe die für mich noch ungewohnt
wissenschaftlichen Ausführungen in meinem neuen Lehrbuch nicht richtig.:-(


Gruß,Olaf


(Beitrag nachträglich am 11., Januar. 2004 von heavyweight editiert)
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3370
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 09:10:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Bevor wir die eigentliche Hauptachsentransformation der quadratischen
Form in Gang setzen, schauen wir uns die gegebene Gleichung der Fläche
zweiter Ordnung etwas näher an.

Wir schreiben sie bruchfrei am besten so:
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2 xy – 2 yz – 2 zx = 75
Die Gleichung ist gegenüber der zyklischen Vertauschung x -> y-> z-> x
invariant; wir schließen daraus:
die Fläche ist bezüglich der Symmetrieachse des 1.Oktanten symmetrisch;
es liegt eine Rotationszylinderfläche mit der Geraden x = y = z als Achse
a vor.

Wir sind daran interessiert, den Radius r des Zylinders zu finden.
Wir berechnen ihn als Abstand des Punktes P (sqrt(k)/0/0) mit k = 37,5
von der Geraden x = y = z mit der bekannten Methode mittels des
Betrags eines Vektorproduktes:
Das Ergebnis lautet r = sqrt(2k/3) = 5.

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3373
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 09:46:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Wir führen nun die Hauptachsentransformation der quadratischen Form
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2 x y – 2 y z – 2 z x durch.
Die Matrix M der Koeffizienten lautet in Schreibweise von Maple:
M =([[2,-1,-1],[-1, 2,-1],[-1,-1,2]])

In den eckigen Klammern stehen der Reihe nach die Zeilenvektoren.
Da Du bereits sehr gute Vorarbeit geleistet hast, kann ich mich kurz fassen.
Charakteristische Gleichung (Säkulargleichung): x^3 - 6 x ^2 + 9 x = 0
Eigenwerte L als Lösungen dieser Gleichung:
L1=0 ; L2 = 3 ; L3 = 3.

Nota bene : die Doppellösung weist darauf hin, dass eine Rotationsfläche
vorliegt. Der zum einzelnen Eigenwert gehörende Eigenvektor gibt uns die
Richtung der Rotationsachse.

Die Eigenvektoren sind
Zu L1= 0 : v1 = {1;1;1} - - - > Achsenrichtung
Zu L2 = 3 : v2 = {-1;1;0}
Zu L3 = 3 : v2 = {-1;0;1}

Das Ergebnis der Hauptachsentransformation erhält man nun
ohne Rechnung als Geschenk für gehabte Mühen;
die Flächengleichung lautet in den neuen Koordinaten X,Y,Z :
L1 * X^2 + L2 * Y^2 + L3 * Z^2 = 75, also:
3 X^2 + 3 Y^2 = 75 oder
X^2 + Y^2 = 25
Wir stellen nochmals fest: r = 5
Bravo!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 338
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 16:41:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Super!Vielen Dank,das hilft mir sehr!


Gruß,Olaf

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