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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 337 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 22:38: |
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Hi, Gegeben ist ein Zylinder mit der Gleichung x2+y2+z2-xy-xz-yz-37.5=0. Ich möchte eine Hauptachsentransformation durchführen... Soweit bin ich bisher gekommen: det(A-l*E)=l3-3*l2+9/4*l=0 Die Eigenwerte sind also l1=0 und l2=l3=3/2. Aus det(A-l1*E)x=0 erhalte ich den normierten Eigenvektor x1=1/sqrt(3)*(1,1,1), aus det(A-l2*E)x=0 bzw. det(A-l3*E)x=0 die normierten Eigenvektoren x2=1/sqrt(2)*(-1,1,0) und x3=1/sqrt(2)*(-1,0,1) Leider weiß ich nun nicht weiter,bzw. verstehe die für mich noch ungewohnt wissenschaftlichen Ausführungen in meinem neuen Lehrbuch nicht richtig. Gruß,Olaf (Beitrag nachträglich am 11., Januar. 2004 von heavyweight editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3370 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 09:10: |
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Hi Olaf Bevor wir die eigentliche Hauptachsentransformation der quadratischen Form in Gang setzen, schauen wir uns die gegebene Gleichung der Fläche zweiter Ordnung etwas näher an. Wir schreiben sie bruchfrei am besten so: 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2 xy – 2 yz – 2 zx = 75 Die Gleichung ist gegenüber der zyklischen Vertauschung x -> y-> z-> x invariant; wir schließen daraus: die Fläche ist bezüglich der Symmetrieachse des 1.Oktanten symmetrisch; es liegt eine Rotationszylinderfläche mit der Geraden x = y = z als Achse a vor. Wir sind daran interessiert, den Radius r des Zylinders zu finden. Wir berechnen ihn als Abstand des Punktes P (sqrt(k)/0/0) mit k = 37,5 von der Geraden x = y = z mit der bekannten Methode mittels des Betrags eines Vektorproduktes: Das Ergebnis lautet r = sqrt(2k/3) = 5. Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3373 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 09:46: |
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Hi Olaf Wir führen nun die Hauptachsentransformation der quadratischen Form 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2 x y – 2 y z – 2 z x durch. Die Matrix M der Koeffizienten lautet in Schreibweise von Maple: M =([[2,-1,-1],[-1, 2,-1],[-1,-1,2]]) In den eckigen Klammern stehen der Reihe nach die Zeilenvektoren. Da Du bereits sehr gute Vorarbeit geleistet hast, kann ich mich kurz fassen. Charakteristische Gleichung (Säkulargleichung): x^3 - 6 x ^2 + 9 x = 0 Eigenwerte L als Lösungen dieser Gleichung: L1=0 ; L2 = 3 ; L3 = 3. Nota bene : die Doppellösung weist darauf hin, dass eine Rotationsfläche vorliegt. Der zum einzelnen Eigenwert gehörende Eigenvektor gibt uns die Richtung der Rotationsachse. Die Eigenvektoren sind Zu L1= 0 : v1 = {1;1;1} - - - > Achsenrichtung Zu L2 = 3 : v2 = {-1;1;0} Zu L3 = 3 : v2 = {-1;0;1} Das Ergebnis der Hauptachsentransformation erhält man nun ohne Rechnung als Geschenk für gehabte Mühen; die Flächengleichung lautet in den neuen Koordinaten X,Y,Z : L1 * X^2 + L2 * Y^2 + L3 * Z^2 = 75, also: 3 X^2 + 3 Y^2 = 75 oder X^2 + Y^2 = 25 Wir stellen nochmals fest: r = 5 Bravo! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 338 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 16:41: |
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Hi Megamath, Super!Vielen Dank,das hilft mir sehr! Gruß,Olaf |
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