Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Lockere Folge 185 : Paraboloid III

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Lockere Folge 185 : Paraboloid III « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3366
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 15:53:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 185:

Gegeben ist das Rotationsparaboloid
x^2 + y^2 = 2 p z (p konstant, ungleich null).

Jede Ebene E mit der Gleichung
A x + B y + z = D schneidet das Paraboloid in
einer Ellipse, deren Projektion auf die
(x,y) – Ebene ein Kreis k ist.

Man berechne den Radius R dieses Kreises.
Welche Relation zwischen den Koeffizienten
p, A ,B, D muss erfüllt sein, damit k ein
Nullkreis ist?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1070
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 17:17:   Beitrag drucken

Hi,

wo wir schon dabei sind, machen wir gleich weiter! Um die Projektion auf die Ebene z = 0 zu bekommen, eliminiert man aus den gegebenen Gleichungen z!

x^2 + y^2 = 2pz
z = D - Ax - By

==>

x^2 + y^2 = 2pD - 2pAx - 2pBy
x^2 + y^2 + 2pAx + 2pBy = 2pD
(x+pA)^2 + (y+pB)^2 = 2pD + p^2A^2 + p^2B^2

Dies stellt einen Kreis dar, mit dem Radius:
r = sqrt(2pD + p^2A^2 + p^2B^2)

Soll nun ein Nullkreis entstehen, so muss ja r = 0 gelten, oder auch (erst Recht!) r^2 = 0!

2pD + p^2A^2 + p^2B^2 = 0
p * (A^2 + B^2) = - 2D

Dies ist die Raltion die erfüllt sein muss, so das k ein Nullkreis ist!

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3368
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 19:46:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Schon wieder ein richtiges Resultat!
Bravo!
Morgen zeige ich noch eine andere
Lösungsmethode.

MfG
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1072
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 21:32:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich bin gespannt. Freue mich schon auf deine Lösung. Werde sie mir dann morgen Abend nach Dienstschluss zu Gemüte führen !

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3374
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 10:21:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Hier die andere Möglichkeit:

Der gesuchte Nullkreis ergibt sich als
die Normalprojektion des Berührungspunktes P1(x1/y1/z1)
einer Tangentialebene T der Fläche auf die (x,y)-Ebene;
Wir identifizieren die Ebene T mit der gegebenen Ebene E.

T durch Polarisation: x1 x + y1 y – p (z + z1) = 0
oder:
x1 x + y1 y – p z = p z1

Ebene E
A x + B y + z = D

Wenn E und D identisch sein sollen, muss gelten:
x1 / a = y1 / B = - p = p z1 / D
Daraus:
x1 = - p A
y1 = - p B
z1 = - D
Dies setzen wir in die Gleichung für E ein und bekommen
- p A^2 – p B^2 – D = D oder :
p = - 2 D / (A^2+B^2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

MfG
H.R.Moser,megamath

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1073
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 16:05:   Beitrag drucken

Hi megamath,

auch eine raffinierte Methode! Ich bin entzückt.

mfg

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page