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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3345
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 08:01: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 177 lautet:
Gegeben ist das Hyperboloid
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 – z^2 / c^2 = 1.
Beweise, dass die Schnittgerade der Ebenen
x/a + z/c = t * ( 1 + y/b) &
t * (x/a - z/c) = 1 - y/b
für jeden Wert des Parameters t eine Erzeugende
m des Hyperboloids ist.
Bestimme die analogen Gleichungen für die andere Schar
von Erzeugenden n mit s als Parameter.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1061
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 13:22: |
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Hi megamath,
zuerstmal die Methode Holzhammer!!
Ja, ich habe tatsächlcih die Schnittgerade berechnet!
Sie hat den Normalenvektor n:
{ a(t^2-1) , 2bt , c(t^2+1) }
Ein gemeinsammer Punkt beider Ebenen ist:
P ( [2at/(t^2+1)] , b[(1-t^2)/(1+t^2)] , 0 )
Die Gleichung der Schnittgeraden lautet nun also: p + r * n
Setze ich die in Paramterform in die Hyperboloidgleichung ein, und vereinfache so weit es geht erhalte ich die wahre Aussage:
1 = 1 ! Diese ist unabhängig von t, also stimmt sie für jede Schnittgerade der Ebenenscharen!
Nur wie soll ich nun n bestimmen? Die Ebenenscharen sehen ja ziemlich ähnlich aus... Mir ist bis jetzt noch kein Weg eingefallen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3349
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 15:00: |
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Hi Ferdi
Die andere Schar von Erzeugenden erhält auf die folgende Art
(auch eine Hammermethode!):
Wir schreiben die Hyperboloidgleichung so
x^2 / a^2 – z^2 / c^2 = 1 – y^2/b^2
Wir zerlegen in Faktoren
(x/a - z/c) (x/a +z/c) = (1+y/b) (1-y/b)
Daraus destillieren wir Ebenenscharen.
x/a - z/c = s (1 + y/b) &
s(x/a +z/c) = 1 – y/b
Multipliziert man die linken Seiten und
rechten Seiten je miteinander, so erhält man
beim Gleichsetzen die Hyperboloidgleichung.
Selbstverständlich wäre eine subtilere Methode
möglich und angebracht; das Dargelegte möge
für den Augenblick genügen.
Deine ausführliche Rechnung würde wieder
den erwünschten Erfolg zeigen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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