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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3328
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 19:54: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 171 soll der Winkel chi
reziproker Polaren bezüglich der Ellipse
x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 berechnet werden.
Eine gegebene Gerade p habe die Parametergleichung in t:
x = f + t u , y = g + t v , z = h + t w
u,v,w sind die so genannten Richtungskosinus von p;
es gilt u^2 + v^2 + w^2 = 1
(Renaissance des Richtungskosinus !).
Wähle die folgenden Bezeichnungen:
Determinanten D1 = gw – hv, D2 = hu - fw , D3 = fv – gu
Damit:
Q1 = D1/ (bc)^2, Q2 = D2 / (ca)^2, Q3 = D3 / (ab)^2
(Achte auf die zyklische Vertauschung).
Dann gilt für den Winkel chi der reziprokem Polaren p,p*:
cos(chi) = [u * Q1 + v * Q2 + w* Q3] / sqrt(Q1^2+Q2^2+Q3^2)
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Anmerkung
Für eine Kugel vom Radius r gilt a = b = c = r ; setzt man dies oben ein,
so kommt chi = 90°,wie es sein muss!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1050
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 20:54: |
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Hi megamath,
danke für den Tipp mit dem Auto, aber der Opel reicht mir! Jetzt läuft er wenigstens wieder!
Nun zur Aufgabe:
Eine Polarebene des Ellipsoids lautet:
Xx/a^2 + Yy/b^2 + Zz/c^2 = 1
Mit p : X = f+tu , Y = g+tv , Z = h+tw
Liefert das Ebenenbüschel:
fx/a^2 + gy/b^2 + hz/c^2 + t*(ux/a^2 + vy/b^2 + wz/c^2) = 1
Mit den beiden Grundebenen:
fx/a^2 + gy/b^2 + hz/c^2 - 1 = 0
ux/a^2 + vy/b^2 + wz/c^2 = 0
Ein Richtungsvektor der Schnittgerade dieser Ebenen erhalten wir über das Kreuzprodukt ihrer Normalenvektoren:
n = {(gw-hv)/(bc)^2 , (hu-fw)/(ac)^2 , (fv-gu)/(ab)^2}
oder mit megamath Abkürzung:
n = { Q1 , Q2 , Q3 }
Der Winkel zwischen den Reziproken Polaren erhalten wir nun als cos(chi)=[(n.t)/|n|*|t|]
= {Q1,Q2,Q3}.{u,v,w} = Q1u + Q2v + Q3w
|n| = sqrt(Q1^2 + Q2^2 + Q3^2)
|t| = sqrt(u^2 + v^2 + w^2) = 1 !
= cos(chi) = {Q1u + Q2v + Q3w} / sqrt(Q1^2 + Q2^2 + Q3^2)
q.e.d.
mfg |
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