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Lockere Folge 170 : reziproke Polaren...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3324
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 15:04:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Das Thema der Aufgabe LF 170 ist der
Begriff der reziproken oder konjugierte
Polaren einer Kugel.

Gegeben ist die Kugel x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
Es gilt der Satz:
Die Polarebenen der Punkte einer Geraden gehen durch
eine zweite Gerade, die reziproke Polare der ersten.

Aufgabe

a)
Man beweise die Behauptung:
Reziproke Polaren einer Kugel sind zueinander normal.


b)
Man beantworte die Frage:
In welchen Fällen schneiden sich reziproke Polaren einer
Kugel?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1049
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 16:06:   Beitrag drucken

Hi megamath,

a)
die Polarebene sei:

Xx + Yy + Zz = r^2

Mit der Geraden g in Parametreform
X = a + ru , Y = b + rv , Z = c + rw

geordnet:

ax + by + cz + r * ( ux + vy + wz ) = r^2

Der Richtungsvektor der Büschelachse(der reziproken Polaren) lautet:

t = { (bw - cv) , (cu - aw) , (av - bu) }

Bilden wir nun das Skalarprodukt von t und dem Richtungsvektor r der Geraden g :

t.r = 0 ! D.h. sie sind zu einander normal!

q.e.d.

bei b) muss ich mal sehen, muss jetzt erst mal die Batterie am Auto wechseln, damit es morgen wieder fährt!

mfg

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3327
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 16:47:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Ich komme später auf die Aufgabe zuerück,
insbesondere auch auf die Teilaufgabe b)

Nimm Dir mit dem Auto ein Beispiel am
amerikanichen Landeroboter
"Spirit": der hat genügend Strom !

MfG
H.R.Moer,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3329
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 07:51:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Es folgen ein paar Ergänzungen zum Begriff
der reziproken Polaren bezüglich einer Kugel.

Gegeben sei eine Kugel ku mit Mittelpunkt M
und Radius r sowie eine Gerade g.
Es soll die zu g reziproke Gerade g* durch
stereometrische Überlegungen konstruiert werden.

Die zu g normale Diametralebene E durch M
schneide g im Punkt F und ku im Großkreis c.
g* ist dann die in dieser Ebene E liegende
Polare des Punktes F in Bezug auf den Kreis c.
Es folgt daraus, dass reziproke Polaren
im Allgemeinen windschief normale Gerade sind,
von denen die eine die Kugel schneidet,
die andere sie jedoch meidet.

Ist die eine der Polaren Kugeltangente, so ist die
andere die in der zugehörigen Tangentialebene T
liegende normale Tangente.
Genau in diesem Fall schneiden sich zwei reziproke
Polaren.

Da der Pol einer durch eine gegebene Gerade
gehenden Ebene auf der reziproken Polaren liegt
und andrerseits der Pol einer Tangentialebene der
Berührungspunkt ist, so gilt:

Von zwei reziproken Polaren ist die eine die
Verbindungsgerade der Berührungspunkte der beiden
Tangentialebenen, die man durch die andere an die
Kugel legen kann.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3330
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 09:14:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Es könnte nützlich sein, den Begriff der Polarebene
eines Punktes P bezüglich der Kugel
x^2 + y^2 + z^2 = r^2 etwas unter die Lupe zu
nehmen.

Wir benützen dazu die bekannte Parameterdarstellung
einer Geraden g , die durch zwei Punkte P1(x1/y1/z1)
und P2(x2/y2/z2) bestimmt ist mit Hilfe des
Teilverhältnisses t = P1 P / P P2
des laufenden Punktes P(x/y/z) als Parameter.
Die Gleichungen lauten
x = (x1 + t x2) / (1 + t)
y = (y1 + t y2) / (1 + t)
z = (z1 + t z2) / (1 + t)

Schneidet man diese Gerade mit der Kugel, so erhält
man eine quadratische Gleichung zur Berechnung des
Parameters t:
t^2(x2^2+y2^2+z2^2-r^2) + 2t (x1x2+y1y2+z1z2-r^2)
+ (x1^2+y1^2+z1^2-r^2) = 0

Liegen die Punkte P1 und P2 so, dass die Relation
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 - r^2 = 0 erfüllt ist,
so sind die beiden Lösungen t1 und t2 entgegengesetzt gleich:
t2 = - t1.
Dies bedeutet aber: die Punkte P1 , P2 und die beiden
Schnittpunkte S1, S2 von g mit der Kugel bilden eine
harmonische Punktgruppe.

Folgerung:
Wir halten den Punkt P1 fest und legen Sekanten durch ihn,
welche die Kugel in S1, S2 schneiden.
Zu P1 werde der vierte harmonische Punkt P2 bezüglich S1 S2
bestimmt.
Die Koordinaten x,y von P2 erfüllen dann die lineare Gleichung
x1 x + y1 y+ z1 z – r^2 = 0 ; P2, der vierte harmonische Punkt,
liegt auf einer Ebene, der Polarebene zu P1.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath




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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1051
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 09:59:   Beitrag drucken

Hi megamath,

Polarentheorie ist ein sehr interesantes Thema. Besten Dank für deine Ausführungen!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3331
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 16:05:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Es lohnt sich, noch ein wenig bei der im letzten Abschnitt
aufgestellten quadratischen Gleichung

t^2(x2^2+y2^2+z2^2-r^2) + 2t (x1x2+y1y2+z1z2-r^2)
+ (x1^2+y1^2+z1^2-r^2) = 0

zur Berechnung des Parameters t zu verweilen.
Die beiden Lösungen t1 und t2 liefern die Schnittpunkte der
Kugel mit der Geraden g, die durch die zwei Punkte P1(x1/y1/z1)
und P2(x2/y2/z2) bestimmt ist.

Wir ermitteln die Diskriminante DELTA dieser Gleichung;
es gilt:
DELTA = (x1x2+y1y2+z1z2-r^2)^2 –
(x2^2+y2^2+z2^2-r^2) (x1^2+y1^2+z1^2-r^2)
Wir formen fleißig um und bekommen
DELTA = r^2 d^2 – 4 A^2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
hierbei ist d der Abstand der Punkte P1,P2 ,
und A ist die Fläche des Dreiecks O P1 P2
(Betrag des Vektorproduktes der Vektoren OP1, OP2)
es ist ja
4 A^2 = (y1 z2-y2 z1)^2+(z1 x2-z2 x1)^2+(x1 y2-x2 zy1)^2

Bezeichnet man mit h noch den Abstand der Geraden g
vom Nullpunkt O, so kommt schließlich:

DELTA = d^2 (r^2 - h^2), ein leicht zu interpretierendes
Resultat.
Für DELTA = 0 wird g zur Tangente.

Es ist nun nicht mehr schwierig, von hier aus auf die
Gleichung des Tangentenkegels mit P1 als Spitze der
Kugel zu kommen.
Das soll in einer Fortsetzung dieser kleinen Arbeit
geschehen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3332
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 17:20:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Fortsetzung der kleinen Betrachtung einer großen Sache.
Wir haben den Satz hergeleitet:
die notwendige und hinreichende Bedingung dafür,
dass die Gerade g, bestimmt durch die Punkte
P1(x1/y1/z1) und P2(x2/y2/z2) eine Tangente
der Kugel x^2+y^2 +z^2 = r^2 ist, lautet
(x1x2+y1y2+z1z2-r^2)^2
= (x2^2+y2^2+z2^2-r^2) (x1^2+y1^2+z1^2-r^2)

Nun postulieren wir:
P1 sei ein fester Punkt außerhalb der Kugel und P2 sei ein
laufender Punkt P(x/y/z) und der Bedingung unterworfen,
dass P1P die Kugel berühren soll.
Wir ersetzen in der obigen Bedingung x2 durch x, y2 durch y,
z2 durch z .
Es kommt:

(x1 x+y1 y+z1 z - r^2) ^ 2
= (x1^2+y1^2+z1^2 - r^2) (x^2 + y^2 + z^2 - r^2)……………(1)

Voilà!

Dies ist die Gleichung des Tangentenkegels mit der
Spitze P1(x1/y1/z1) bezüglich der Kugel

x^2 + y^2 + z^2 = r^2……………………………………………………………..(2)


Verbindet man die Gleichung (1) mit der Gleichung der Ebene
x1 x + y1 y + z1 z – r^2 = 0……………………………………………………..(3)
und der Gleichung (2) der Kugel, so ergibt sich, dass
jeder Punkt, der auf je zwei dieser drei Flächen liegt, auch
auf der dritten Fläche liegt, eine Tatsache, von der wir oft
schon Gebrauch gemacht haben.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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