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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3317
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Januar, 2004 - 12:38: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 167:
Gegeben ist das Ellipsoid x^2 + 2 y^2 + 3z^2 = 6
sowie die Gerade g in Parameterform
x = 1 + t, y = - 1 + 2t , z = - 4 + 3t.
Auf g befindet sich der laufende Punkt L.
Man beweise:
Die Polarebene des Punktes L als Pol bezüglich des Ellipsoids
geht für jede Lage von L durch eine feste Gerade f.
Man bestimme diese Gerade f.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1045
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Januar, 2004 - 16:22: |
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Hi megamath,
Wir polarisieren die Ellipsoid Gleichung, um die Polarebene im Punkt L zu erhalten!
ux + 2vy + 3wz = 6
Mit: u = 1 + t , v = -1 + 2t , w = -4 + 3t
liefert: (1+t)x + 2(-1+2t) + 3(-4+3t)z - 6 = 0!
Ein schönes Ebenenbüschel! Wir suchen nun die Achse des Büschels! Dazu nehmen wir zwei beliebige Normalenvektoren und bilden damit das Vektorprodukt, dann haben wir einen Richtungsvektor von f, dieser müsste dann frei von jedem Paramter sein!
[(1+t),2(-1+2t),3(-4+3t)] x [(1+s),2(-1+2s),3(-4+3s)]
Wir erhalten nach kurzer Rechnung r = {10,-7,2}
Dann suchen wir noch einen Punkt der in allen Ebenen liegt:
x - 2y - 12z + t(x + 4y + 9z) = 6
Der Punkt muss also x-2y-12z=6 und x+4y+9z=0 genügen, P(4,-1,0) tut dies!
f lautet daher:
x = 4 + 10r , y = - 1 - 7r , z = 2r
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3318
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Januar, 2004 - 21:29: |
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Hi Ferdi,
Du hast richtig reagiert!
Schon wieder das hilfreiche Ebenenbüschel!
Glückwunsch!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3320
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 08:01: |
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Hi Ferdi,
Bei der numerische Berechnung der gesuchten
Geradengleichung kommt man folgendermaßen
etwas schneller zum Ziel:
Wir schneiden die beiden Grundebenen des Büschels:
E1: x - 2y - 12 z – 6 = 0
E2: x + 4y + 9z = 0
Setze dabei etwa z = 0, dies führt auf x = 4 , y = - 1
Wir haben den Punkt A(4/-1/0) von f.
Setze weiter etwa z = 2, dies führt auf x = 14, y = - 8
Wir haben den Punkt B(14/-8/2) von f.
Damit gewinnt man rasch eine Gleichung von f.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3321
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 08:03: |
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Hi allerseits
Es ist reizvoll, die Aufgabe allgemein zu lösen
Gegeben sei das Ellipsoid
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1
Im Punkt Po(xo/yo/zo) wird die Normale n errichtet.
Auf n befindet sich der laufende Punkt L.
Wir betrachten die Polarebene des Punktes L bezüglich
des Ellipsoids und zeigen:
sie geht für jede Lage von L durch eine feste Gerade n*.
Setzt man zur Abkürzung
1/a^2 = f , 1/b^2 = g , 1/c^2 = h , so lautet das Ergebnis :
n* ist die Schnittgerade der Ebenen E1, E2 mit
E1: xo f x + yo g y + zo h z - 1 = 0
E2: f^2 x + g^2 y + h^2 z = 0
E1 ist die Polare von Po, also die Tangentialebene in Po,
E2 ist eine Ebene durch O mit {f^2; g^2; h^2} als Normalenvektor.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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