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Dreaminggirl (Dreaminggirl)
Mitglied
Benutzername: Dreaminggirl
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 15:37: | 
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hi,
kann mir irgendjemand folgende aufgabe lösen oder wneigstens ne gr denkanstoss geben? DANKE im vorraus.
Sei e element R + ohne 1 und n element n ohne 0 und 1.
zeigen sie, dass die funktion f:R-->R+ , x --> x hoch a die Umkehrfunktion f hoch -1: R-->R ,
x --> log a (x):= ln x geteilt durch ln a (logarithmus zur basis a) besitzt |
Brainchild (Brainchild)
Junior Mitglied
Benutzername: Brainchild
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 16:53: |
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Hallo,
könnte ein Fehler in der Aufgabenstellung sein ?
Denn: (etwas andere Aufgabenstellung)
a € R+ ohne {1}
f:R->R+, x -> a^x
z.z.: f^(-1):R+->R, y->log a (y) (logarithmus zur basis a von y)
Für diese Aufgabenstellung und wenn ln(x) (logarithmus zur basis exp(1)) bekannt ist, als Umkehrfunktion zu exp(x), geht es relativ leicht.
1.)Wie kommt man auf f^(-1) ?
f(x):=y = a^x
<=>y = exp(x*ln(a)) [Rechenregeln für exp(),leicht nachzurechnen]
=>ln(y) = x*ln(a) [Umkehrabbildung von exp()]
<=>x=ln(y)/ln(a) [da insbesondere a un= 1]
2.)nachrechnen, ob alles stimmt
Sei f^(-1)(x):=ln(x)/ln(a)
(mit ° bezeichne ich hier die Komposition von Abbildungen)
f°f^(-1)(x)=a^(ln(x)/ln(a))=exp(ln(x)/ln(a)*ln(x))=exp(ln(x))=x
f^(-1)°f(x)=ln(a^x)/ln(a)=x*ln(a)/ln(a)=x
et voila ...
(Beitrag nachträglich am 04., Januar. 2004 von Brainchild editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 862
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 16:54: |
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Hi!
So kann's eigentlich nicht sein! Meiner Ansicht nach müsste die Funktion in der Angabe:
x --> a^x (a hoch x)
also eine Exponentialfunktion, sein! Denn nur deren Umkehrung führt auf einen Logarithmus, während die Umkehrung der Funktion x^a zu einer Wurzelfunktion wird.
Und was ist bitte e und n?
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 863
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 17:44: |
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f: y = a^x; a € R+ \ {1}, x € R
f-1, d.i. die Umkehrfunktion, erhält man durch Vertauschen der Variablen und Auflösung nach y:
x = a^y --> y = log_a(x) Logarithm. z. Basis a
Dies folgt unmittelbar aus der Definition des Logarithmus!
Zum anderen verwenden wir die Tatsache, dass a = e^ln(a) ist (dies folgt ebenfalls aus der Definition des Logarithmus):
x = a^y
x = [e^ln(a)]^y = e^[y*ln(a)]
wieder Auflösung nach y:
x = e^[y*ln(a)] .. logarithmieren (Basis e)
ln(x) = y*ln(a)
y = ln(x) / ln(a) w.z.z.w. (was zu zeigen war)
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Gr
mYthos
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Dreaminggirl (Dreaminggirl)
Mitglied
Benutzername: Dreaminggirl
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 21:35: |
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danke schön.
ja im ersten satz habe ich dass a vergessen. dennoch vielen dank :-)
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