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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3305
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 09:18: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 163:
Gegeben ist das Ellipsoid x ^ 2 + y ^ 2 + 2 z ^ 2 = a ^ 2
und eine Geradenschar g(m) in der (x,y)-Ebene mit m als
Scharparameter, Gleichung der Schar:
y = m x + 1 , z = 0
a)
Welcher Ungleichung müssen a und m genügen, wenn es
zwei Tangentialebenen des Ellipsoids geben soll, die sich in
g(m) schneiden?
b)
Welche Beziehung besteht zwischen a und m, wenn die
Tangentialebenen durch g(m) orthogonal sind?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 750
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 15:55: |
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Megamath,
a) In g schneiden sich 2 Tangentialebenen (TE) g.d.w.
g ganz ausserhalb des Ellipsoides verläuft, d.h. wenn
x2 + (mx+1)2 > a2
für alle reellen x erfüllt ist. Das Minimum der links
stehenden quadratischen Funktion ist aber
= 1/(m2+1), daher lautet die fragliche Bedingung
(1) (m2+1)a2 < 1
b) Sei (u,v,w) ein variabler Punkt des Ellipsoides,
Dann ist die entsprechende TE
ux + vy + 2wz = a2
g verläuft in dieser TE g.d.w. für alle x:
ux+v(mx+1)=a2,
d.h. wenn
u = - ma2 , v = a2 .
Aus der Ellipsoidgleichung ergeben sich daraus die
beiden w - Werte
w = ± a sqrt[(1-(m2+1)a2)/2]
womit übrigens nochmals (1) bestätigt ist. Eine kleine
Rechnung ergibt, dass beide TE orthogonal sind g.d.w.
(m2+1)a2 = 1/3.
(Beitrag nachträglich am 03., Januar. 2004 von Orion editiert)
mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 751
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 16:29: |
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Korrektur :
Die letzte Formelzeile mussw lauten:
(m2+1)a2 = 2/3
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3309
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 17:59: |
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Hi Orion
Du hast eine sehr schöne Lösung dieser Aufgabe dargelegt.
Besten Dank !
Man kann die Aufgabe etwas verallgemeinern und die zweiparametrige
Geradenschar y = mx + q in der Ebene z = 0 heranziehen.
Die Lösungsbedingung lautet dann:
a^2 (m^2 +1) < q^2
u.s.w.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3311
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2004 - 19:56: |
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Hi allerseits,
Bei der Lösung dieser Aufgabe ist aufschlussreich auch der Einsatz des
Ebenenbüschels mit g(m) als Achse.
Wir haben zwei bestimmende Ebenen dieses Büschels:
die erstprojizierende Ebene der Geraden y = mx + 1;
das ist die Ebene durch g(m) senkrecht zur Ebene z = 0 und
diese Ebene selbst, eben z = 0.
Gleichung des Büschels mit t als Parameter:
y – m x - 1 + t z = 0
(-m) x + y + t z – 1 = 0
Allgemeine Gleichung einer Tangentialebene des Ellipsoids mit
P1(x1/y1/z1) als Berührungspunkt:
x1 x + y1 y + 2 z1 z – a^2 = 0
Die beiden Ebenen sind identisch, wenn folgende Proportion zutrifft:
- x1 / m = y1 = 2 z1 / t = a^2
daraus x1 =…, y1=…, z1=….;
Einsetzen in die Gleichung des Ellipsoids führt auf
t^2 = 2 / a^2 * [1 – a^2 (m^2+1)], woraus die gesuchte Bedingung
ersichtlich wird.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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