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Polly_03 (Polly_03)
Neues Mitglied
Benutzername: Polly_03
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 15:19: | 
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Hallo!
Ich sitze schon seit Stunden an folgender Aufgabe:
Bezüglich der Standardbasis sei
0=3+x1-2*x2+6*x1*x2+4*x1^2-4*x2^2
die Gleichung einer quadratischen Kurve.
Bestimmen Sie eien Basis aus Eigentvektoren des quadratischen Teils 6*x1*x2+4*x1^2-4*x2^2 der Gleichung und die Normalenform der Kurve. Geben Sie die Basisvektoren, die zu der Normalenform gehören, als Linearkombination der Standardbasis an.
Ich komm da leider garnicht weiter und wäre sehr dankbar für einen Denkanstoß bzw. Lösungsansatz.
Vielen Dank schon mal! |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 749
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 17:58: |
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Polly,
Mit x = (x1,x2)t und der Matrix
A = ([4,3],[3,-4]) (lies zeilenweise)
lautet der quadratische Teil
xtAx
Das chrakteristische Polynom von A lautet
det(A - lE) = l2-25,
Die Eigenwerte sind also l1=5,l2
= - 5.
Die Gleichung (A-5E)u = 0
hat die nichttriviale Lösung
u1 =(3,1)t = 3e1 +e2 ,
und das ist ein Eigenvektor zu l1.
Prüfe nach, u2 = (1,-3)t Eigenvektor zu
l2 ist. Rechne ferner nach, dass für die
Matrix T mit den Spaltenvektoren
(1/sqrt(10))u und (1/sqrt(10))v
T-1AT = TtAT= diag(5,-5)
ist. Durch die Transformation
x = Ty geht die quadratische Form somit in
ytdiag(5,-5)y= 5y12 - 5y22
über.
(Beitrag nachträglich am 02., Januar. 2004 von Orion editiert)
mfG Orion
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Polly_03 (Polly_03)
Neues Mitglied
Benutzername: Polly_03
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 20:44: |
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Hallo Orion!
Erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich kann leider nicht soviel damit anfangen, besser gesagt ich versteh es nicht. Es wäre sehr nett von dir, wenn nur mir nochmal eine weitere Hilfe geben könntest.
Vielen, vielen Dank!
Mfg,
Polly_03 |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1043
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 21:38: |
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Hi Polly,
sag uns doch wo genau du Probleme hast, denn eigentlich ist das ein ziemlich umfangreiches Thema und Orions Lösung ist doch sehr gut nachvollziehbar!
Wenn wir wissen wo genau du Probleme hast helfen wir gerne!
mfg |
Polly_03 (Polly_03)
Neues Mitglied
Benutzername: Polly_03
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 12:18: |
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Hallo!
Ich hab Probleme mit dem letzten Teil, wo nachgerechnet werden muss, dass die Marrix T mit den Spaltenvektoren T^-1*AT = T^t*AT = diag(5,-5) ist. Ich kann da leider nichts mit dem diag anfangen und mit dem y^tdiag(5,-5)y = 5y1² - 5y2².
Ich bin über eure Hilfe sehr dankbar.
mfg
polly |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1046
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 14:05: |
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Hi,
diag(5,-5) heißt nichts anderes als das die Ergebnissmatrix die Einträge 5 und -5 in der Hauptdiagonale hat sonst nullen:
T^-1*A*T=
Rechnest du nun auf die neuen Koodianten um, d.h. in y1 und y2, so nimmst du obrigen Matrix mal dem Vektor x = {y1,y12} und erhälst,
5y1^2 - 5y2^2
Du hast das Koordinatensystem so gedreht, das der gemischte Teil x1x2 rausgefallen ist!
mfg |
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