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Lockere Folge 160 : Zwei Kugeln

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3292
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 17:06:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die Aufgabe LF 160 lautet:

Gegeben sind die Kugeln k1 und k2:
k1: x^2 + y^2 + z^2 = 16
k2 : (x+5)^2 + y^2 + z^2 = 25
und die Ebene E:
E: p x + q y + z = 5.

a)
Bestimme ein Ähnlichkeitszentrum Z der Kugeln.

b)
Welche Relation müssen p und q erfüllen, damit E k1 berührt?

c)
Welche Relation müssen p und q erfüllen, damit E k2 berührt?

d)
Wie lautet die gemeinsame Tangentialebene beider Kugeln,
welche durch den Punkt A(0/0/5) geht?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1029
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 18:35:   Beitrag drucken

Hi megamath,

kannst du a) mal ein wenig näher erläutern? Da kann ich mir leider nichts drunter vorstellen?

Der Rest geht flott:

HNF von E:

[ px + qy + z - 5 ]/sqrt(p^2+q^2+1) = 0

b)
Damit E k1 berührt muss M von k1 4 von E entfernt sein!

[ - 5 ] = 4 * sqrt(p^2+q^2+1)

p^2 + q^2 = 9/16

c)
Damit E k2 berührt muss M von k2 5 von E entfernt sein!

[ 5p - 5 ] = 5 * sqrt(p^2+q^2+1)

q^2 + 2p = 0

Damit hat man 2 schöne Gleichungsysteme für d)!

E geht durch A und berüht beide Kugeln wenn sowohl

p^2 + q^2 = 9/16

als auch

q^2 + 2p = 0

erfüllt ist! Man erhält nach leichter Rechnung:

p = - 1/4 und q = 1/2 * sqrt(2)

Die gesuchte Ebene lautet also :

-x + sqrt(8)y + 4z = 20!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3293
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 18:52:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Zu a) gibt es Einiges zu sagen; das werde ich morgen tun.
Zunächst nur dies:
Gemeint ist die Spitze eines gemeinsamen Tangentenkegels beider Kugeln.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3294
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 18:55:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

ich habe vergessen zu sagen,dass Deine Resultate i.O. sind.
BRAVO !

mfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3295
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 20:34:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Ich habe nachträglich bei Deiner Lösung einen Vorzeichenfehler entdeckt.

Bei c) sollte es heißen:
q^2 = 2 p.
damit lauten dann die Gleichungen der gesuchten Ebenen
x + sqrt(8)y + 4z = 20 und
x - sqrt(8)y + 4z = 20

Beide Ebenen gehen durch den Punkt Z(20 / 0 / 0) auf der
x-Achse, und das ist justement der in Teilaufgabe a)
erwähnte Ähnlichkeitspunkt der beiden Kugeln, den ich morgen
näher erläutern werde.

Könntest Du meine Ausführungen überprüfen!

Mit freundlichen Grüßen
H.R. Moser,megamath

Mit freundlichen Grüßen
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3296
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 20:55:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Eine Variante dieser Aufgabe lautet so:

An den Kegel mit der Spitze in Z(20/0/0) und der Inkugel
x^2 + y^2 + z^2 = 16 sind die Tangentialebenen zu legen,
die durch den Punkt A(0/0/5) gehen.
Es gibt zwei solche Ebenen; sie enthalten je die Gerade AZ.
ihre Gleichungen lauten
x + sqrt(8)y + 4z = 20 und
x - sqrt(8)y + 4z = 20


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1030
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 21:53:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich kann keinen Rechenfehler bei mir finden!

Allerdings, so meine ich, stimmen deine Ebenen Gleichungen nicht!

E1 : x + sqrt(8)y + 4z = 20

Davon |n| = 5 also HNF:

[x + sqrt(8)y + 4z - 20] / 5 = 0

Setzt man da die Koordinaten von M2 (5/0/0) ein so erhält man einen Abstand von M2 zu E1 von 3! Also kann diese Ebene keine Tangentialebene da der Abstand von M2 zu E kleiner als der Radius der Kugel ist!

Ebenso bei deiner zweiten Ebene!

Bei meiner allerdings is der Abstand von M2 zu E genau 5!

Ich bin auch weiterhin der Meinung das q^2 = -2p gilt!

Denn soll E : px + qy + z = 5 Tangentialebene zu k2 sein, muss ja d(M2,E) = 5 sein.

[px + qy + z - 5] / sqrt(p^2+q^2+1) = 0

mit M2 (5/0/0) wird daraus:

[5p-5] = 5 * sqrt(p^2+q^2+1)
[p-1]^2 = p^2 + q^2 + 1
p^2 - 2p + 1 = p^2 + q^2 + 1
-2p = q^2

Tja, weiter weiß ich auch nicht! Erstmal ne Nacht drüber schlafen!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3298
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 08:29:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Ich werde alles nochmals überprüfen.
Nach meiner Meinung hat die zweite Kugel die
folgenden Mittelpunktskoordinaten:
M2(-5/0/0/);liegt hier der
Pferdefuss offen dar.
Ist das die Achilles-Ferse?

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1032
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 10:07:   Beitrag drucken

Hi megamath,

als ich grade aufgestanden bin kam mir das selbe in den Sinn! Ich hatte mir die Aufgabe falsch abgeschrieben! Damit ist das Rätsel gelöst!

Jetzt fehlt nur noch Aufgabeteil a)! Ich bin gespannt , wie das geht!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3300
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 11:11:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Zum Abschluss noch ein paar Worte zum Begriff
Ähnlichkeitspunkt.

Ich zeige das Phänomen anhand zweier Kreise.
Der Begriff wird eingeführt unter dem Titel
„Die Ähnlichkeit der Kreise“ und gipfelt in dem
Satz:
Alle Kreise sind ähnlich (analoges gilt für Kugeln).

Skizziere zwei Kreise k1 und k2,
welche zwei äußere gemeinsame Tangenten a, b
und zwei innere gemeinsame Tangenten c, d haben.
In der Unterstufe lernt man, solche Tangenten zu
konstruieren (!).
Hier aber genügt eine Freihandzeichnung!
M1 sei der Mittelpunkt von k1, r1 ist der Radius von k1.
M2 sei der Mittelpunkt von k2, r2 ist der Radius von k2.

Die Tangente a, b mögen sich im Punkt U schneiden,
die Tangenten c, d in V.
Wir taufen diese Punkte:
U ist der äußere, V der innere Ähnlichkeitspunkt
der beiden Kreise k1, k2.
Soviel zur Nomenklatur.

Es gelten die Proportionen:
UM2 / UM1 = r2 / r1 = c
VM2 / VM1 = r2 / r1 = c

Konsequenz
U ist der äußere, V der innere Teilpunkt der nach dem
Verhältnis r2 : r1 geteilten Strecke M1M2.


Legt man eine beliebige Sekante durch U, welche k1 in P1
und k2 in P2 schneidet, so gilt auch

UP2 / UP1 = r2 / r1 = c ( c constans, wie soeben)

Analoges gilt für Sekanten durch V.

Rotiert man die Figur um die Gerade M1M2,um die
so genannte Zentrale der beiden Kreise,so erhält man
zwei Kugeln mit ihren Ähnlichkeitspunkten U und V.

In unserem Fall gibt es nur den äußeren Ähnlichkeitspunkt
U= Z(20/0/0); überzeuge Dich davon mit einer Skizze und
einer einfachen Proportion.
U ist gerade die Spitze des gemeinsamen Tangentenkegels.
C´est tout!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1033
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2004 - 11:54:   Beitrag drucken

Hi megamath,

besten Dank. Ich werd mich gleich mal ransetzen!

mfg

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