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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3282
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 15:58: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 157
Es gibt unendlich viele Kugeln, welche durch die Punkte
A(0/0/2), B(2/0/1) gehen und die (x.y)-Ebene berühren.
Man ermittle die Ortskurve der Berührungspunkte T
dieser Kugeln in der (x,y)-Ebene.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1023
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 17:08: |
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Hi megamath,
die Ortskurve müsste ein Kreis sein!
Kugel:
(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2
K soll die die xy-Ebene berühren!
=> M muss zu z = 0 den Abstandt r haben!
==> c = r
(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = c^2
A und B sollen auf der Kugel liegen:
A: a^2 + b^2 + (2-c)^2 = c^2
B: (2-a)^2 + b^2 + (1-c)^2 = c^2
Sei T (a | b) nun der Berührpunkt in der xy-Ebene,
ich eliminiere c aus A und B und erhalte:
a^2 - 8a + b^2 - 10 = 0
oder
(a-4)^2 + b^2 = 10
Einen Kreis mit Mittelpunkt M ( 4 | 0 ) und Radius r = sqrt(10) !
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3283
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 17:15: |
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Hi Ferdi,
Das ist alles richtig, bravo !
Mfg
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3285
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 18:18: |
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Hi allerseits
Eine Kurzlösung der Aufgabe LF 157 geht so:
Ich schneide die Gerade AB im Punkt S(4/0/0)
mit der (x,y)-Ebene und ermittle die Potenz PI
dieses Punktes bezüglich einer Kugel, die durch
A und B geht.
Es ist
PI(S) = SA*SB = ST^2
Es gilt: SA = sqrt(20), SB = sqrt(5),
also
PI(S) = sqrt(100) = 10, somit ST = sqrt(10)
Dies ist aber gerade der Radius des Ortskreises;
der Mittelpunkt ist der feste Punkt S.
Voilà !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1026
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Januar, 2004 - 11:49: |
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Hi megamath,
deine Lösung ist auch nicht schlecht!
Ich wundere mich immer wieder mit welcher Vielfalt man an Aufgaben herangehen kann!
mfg |
