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Stylar (Stylar)
Junior Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 13:08: | 
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Hallo.
Ich habe ein gewaltiges Problem mit folgender Aufgabe:
a) Sei f(x) :=
{x²*sin(pi/x) für x ungleich 0
{0 für x = 0.
Man zeige: f ist auf ganz IR differenzierbar; aber f´ ist nicht stetig.
b) Sei f:[a,b] -> IR differenzierbar; man zeige, dass für f´ der Zwischenwertsatz gilt, d.h. f´ nimmt jeden Wert zwischen f´(a) und f´(b) an.
Kann mir das bitte jemand mal ganz anschaulich vormachen / rechnen? So werden unsere Klausuraufgaben aussehen und ich komm damit gar nicht klar.
Danke!
Stylar |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 744
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 17:15: |
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Stylar,
a) f ist zunächst für alle x ‡ 0 differenzierbar :
Mittels Produkt-und Kettenregel rechnest du nach, dass
f'(x) = 2x sin(p/x) + p cos(p/x).
Für x=0 müssen wir auf die Definition der Ableitung als
Grenzwert des Differenzenquotienten zurückgehen.
Dieser lautet
(f(0+h)-f(0))/h = h2 sin(p/h) /h =
h sin(p/h) ; h‡0.
Für h®0 strebt dies bekanntlich gegen 0
(beachte dass |sin(p/h)| £1). Somit
existiert der fragliche Grenzwert und hat den Wert 0:
f'(0) = 0.
Die Ableitungsfunktion f' ist also für alle x definiert und
für x‡0 auch stetig. Wie verhält es sich nun bei
x=0 ? Dazu betrachten wir zwei verschiedene Testfolgen , nämlich
xn := 1/(2n) und x*n := 1/(2n+1)
welche offenbar für n®¥ gegen 0 streben.
Dann gilt offenbar
f'(xn) =
(1/n) sin(2np)+p cos(2np)
= (1/n)*0 + p*1 = p.
Analog ergibt sich f'(x*n) = - p.
Der Grenzwert limx®0 f'(x) existiert also nicht,
d.h. f' ist bei x=0 nicht stetig.
Das wär's für 2003
Beste Wünsche für 2004 !
mfG Orion
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