| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3272
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 12:10: | 
|
Hi allerseits
Die Aufgabe LF 155 ist eine Zusatzaufgabe
zu LF 154 ; sie kann ohne grössere Rechnung
durch scharfes Hinsehen und intensives Nachdenken
gelöst werden!
Es sind dieselben zwei Kugeln k1, k2 gegeben:
k1: x^2 + y^2 + z^2 + 2 a x + p = 0
k2: x^2 + y^2 + z^2 + 2 b y + q = 0
a,b,p,q sind gegebene Konstanten mit p>0, q>0.
Eine Gerade g geht durch den Nullpunkt O
und berührt sowohl k1 als auch k2.
Welchen Abstand D haben die beiden Berührungspunkte?
MfG
H.R.Moser,megamath
|
Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 17:37: |
|
Hallo Megamath,
der Abstand der Berührpunkte ergibt sich als der Betrag der Differenz der zugehörigen Lösungsvektoren. Mit den Bezeichnungen aus Aufgabe 154 wird damit der Abstand gleich dem Betrag des Vektors
k * (-p/a,y1,z1) - (-p/a,y1,z1) = (k-1)*(-p/a,y1,z1).
Aus k = Wurzel (q/p) und (Kr1) folgt dann schließlich k = Betrag [Wurzel(q) - Wurzel(p)].
Ich gebe zu, das war weniger scharfes Hinsehen und intensives Nachdenken als Ausnutzen der Erkenntnisse, die ich im Rahmen der Lösung von Aufgabe 154 sowieso schon gewonnen habe.
Ich hoffe, du kannst es mir nachsehen.
Viele Grüße aus dem ungemütlichen Hamburg in die (weiße ?) Schweiz
Michael |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3274
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 19:27: |
|
Hi Michael
Ich bin Dir dankbar, dass Du diesen Lösungsweg gezeigt hast; es ist
derjenige, auf den man zuerst kommt; der reguläre so zu sagen, die
grüne Piste.
Die rote geht so:
Wir erinnern uns, und Ferdi tut das gewiss auch, dass die linke Seite
der auf null gebrachten und normierten Kreisgleichung die Potenz des
Punktes P(x/y/z) bedeutet.
Demnach hat der Nullpunkt O(0/0/0) bezüglich k1 die Potenz F1 = p
und bezüglich k2 die Potenz F2 = q.
Die entsprechenden Tangentenabschnitte von O aus an die Kugeln sind
sqrt(F1) und sqrt(F2); damit liegt die Lösung auf dem Präsentierteller.
Herzliche Grüsse aus dem auch trüben CH-Mittelland
nach Hamburg !
H.R.Moser,megamath
|
|
