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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3271
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 11:28: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 154
Es sind zwei Kugeln k1, k2 gegeben:
k1: x^2 + y^2 + z^2 + 2 a x + p = 0
k2: x^2 + y^2 + z^2 + 2 b y + q = 0
a,b,p,q sind gegebene Konstanten.
Eine Gerade g geht durch den Nullpunkt O
und berührt sowohl k1 als auch k2.
Psi sei der Winkel zwischen g und der z-Achse.
Man beweise:
[sin(Psi)]^2 = p/a^2 + q/b^2
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MfG
H.R.Moser,megamath
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Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 17:05: |
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Hallo Magamath,
dann will ich mal versuchen, die Nuss zu knacken:
Die Kugelgleichungen lauten in vektorieller Form
(Ku1) [(x,y,z) - (-a,0,0)]^2 = a^2 - p und
(Ku2) [(x,y,z) - (0,-b,0)]^2 = b^2 - q.
Da g Ursprungsgerade ist und gleichzeitig Tangente an beide Kugeln, muss für die Vektoren (x1,y1,z1) und (x2,y2,z2) zu den Berührpunkten gelten
(Be1) (x1,y1,z1) * [(x1,y1,z1) - (-a,0,0)] =
(Be2) (x2,y2,z2) * [(x2,y2,z2) - (0,-b,0)] = 0.
Aus (Be1) in Verbindung mit (Ku1) bzw. (Be2) in Verbindung mit (Ku2) erhält man die Lösungen
x1=-p/a und y2=-q/b.
Für die restlichen Lösungsvariablen ergeben sich dann die folgenden Kreisgleichungen:
(Kr1) y1^2 + z1^2 = p - p^2/a^2 und
(Kr2) x2^2 + z2^2 = q - q^2/b^2.
Nun liegen die Berührpunkte auf derselben Ursprungsgeraden, also gibt es ein k mit
(Ur) (x2,-q/b,z2) = k * (-p/a,y1,z1).
Aus den hieraus entstehenden 3 Gleichungen sowie (Kr1) und (Kr2) lassen sich nun die 5 Unbekannten k, y1, z1, x2 und z2 bestimmen. Wir benötigen lediglich k und z1 und gehen hierfür von (Kr2) aus, indem wir x2 und z2 gemäß (Ur) durch k ausdrücken und dabei noch die Beziehung (Kr1) ausnutzen:
k^2 * p^2/a^2 + k^2(p - p^2/a^2 - q^2/(b^2*k^2)) = q - q^2/b^2. Dies liefert k^2 = q/p.
Eingesetzt ergibt sich daraus y1^2 = pq/b^2 und damit z1^2 = p - p^2/a^2 - pq/b^2.
Nun berechnen wir das Quadrat des Skalarprodukts des Lösungsvektors (-p/a,y1,z1) und (0,0,1):
z1^2 = (p^2/a^2 + y1^2 + z1^2) * [cos(psi)]^2, also mit (Kr1): z1^2 = p * [cos(psi)]^2.
Daraus folgt dann schließlich
[sin(psi)]^2 = 1 - z1^2/p = 1 - (1 - p/a^2 - q/b^2) = p/a^2 + q/b^2, qed.
Puh, das war nicht so einfach. Vielleicht hast du ja eine einfachere Lösung parat.
Viele Grüße
Michael |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1019
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 17:31: |
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Hi Michael,
ein sehr schöner Beweis!
Ich hatte ähnlich gedacht, brauch jetzt wohl nicht mehr weiter rechnen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3275
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 19:51: |
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Hi Michael
Die Lösung ist gut gelungen, meine Gratulation und
Anerkennung Deines Durchhaltewillens!
Ich gebe Dir morgen eine etwas kürzere Lösung zu
Protokoll!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3280
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 12:42: |
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Hi Michael
Hier die versprochene Lösung der Aufgabe LF 154;
sie unterscheidet sich nicht sehr stark von Deiner Lösung.
Den Richtungsvektor m der Geraden g wird so normiert,
dass er den Betrag eins hat
Ansatz für m:
m = {u;v;w) mit^2 + v^2 + w^2 = 1.
Parameterdarstellung von g:
x = u t , y = v t , z = w t mit t als Parameter,
Schnitt mit k1; Gleichung für t:
[u^2+v^2+w^2] t^2 + 2 a u t + p = 0, vereinfacht sich zu
t ^ 2 + 2 a u t + p = 0.
Eine Doppellösung entsteht für 4 a^2 u^2 – 4 p = 0,
d.h. für
u^2 = p / a^2………………………………………………….(1)
Schnitt mit k2; Gleichung für t:
[u^2+v^2+w^2] t^2 + 2 b v t + q = 0, vereinfacht sich zu
t ^ 2 + 2 b v t + q = 0.
Eine Doppellösung entsteht für 4 b^2 v^2 – 4 q = 0,
d.h. für
v^2 = q / b^2………………………………………………..(2)
Aus (1) und (2) folgt
w^2 = 1 – u^2 – v^2 = 1 – [p/a^2 + q/b^2];
mit cos psi = w erhält man sofort
[sin(psi)]^2 = 1 – w^2 = p/a^2 + q/b^2.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 12:52: |
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Hallo Megamath,
die Ideen sind in der Tat ähnlich. Aber dein Lösungsweg besticht wie immer dadurch, dass er sozusagen "straight forward" auf das Ziel zustrebt. Dadurch wird's dann doch ein bisschen kürzer.
Ein frohes Neues Jahr für dich und das gesamte Forum wünscht
Michael |
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