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Lockere Folge 153 : Ebener Schnitt ei...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3268
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 10:37:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die Aufgabe LF 153 ist eine Fortsetzung der Aufgabe
LF 152.
Sie lautet:
Gegeben ist dieselbe Kugel
x^2 – 40 x + y^2 – 24 y + z^2 – 18 z + 400 = 0

Mit dem Nullpunkt O als Spitze wird wiederum der
Berührungskegel kappa an die Kugel gelegt.

Die Kegelfläche wird von der zur (x,y)-Ebene parallelen
Ebene z = 24, wie wir wissen, in einer Hyperbel k
geschnitten.

a)
Ermittle die Richtungen der Asymptoten von k.

b)
Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes von k.

c)
Berechne die lineare Exzentrizität e der Hyperbel.

d) Welches sind die Halbachsen a, b der Hyperbel?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1020
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 21:54:   Beitrag drucken

Hi megamath,

gleich LF 153 mit hier abhandeln!

Setze z=24 in die Gleichung für Tangentialkegel mit Spitze in O ein!

8y^2 - 162y - 270x - 15xy + 5742 = 0

kann man bei a) die enstehende Gleichung durch x^2 dividieren (auch wenn dies wegfällt) ?

Dann lim (y/x) für x ad infinitum gleich Steigung?

Dann erhalte ich m = 0 und m = 15 / 8

b) M = ( -30 | -18 )

c) e = 10*sqrt(34)

d) a = 50 , b = 30

Nach Parallelverschiebung und Drehung erhält man dann die Hyperbel: (x/50)^2 - (y/30)^2 = 1

mfg
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3276
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 09:29:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Du hast die Aufgabe LF 153 souverän gelöst!
Auf die Aufgabe LF 152 komme ich an Ort und Stelle zurück.

Ein paar Ergänzungen könnten nützlich sein, besonders für
geneigte Leser, die unsere Berechnungen nachvollziehen
möchten.

Zu a)
Die Gleichung ist richtig, die Steigungen der Asymptoten auch
Das Verfahren zu ihrer Ermittlung ist in Ordnung.

Zu b)
Ich erhalte den Mittelpunkt M durch implizites Differenzieren der
Hyperbelgleichung nach x:
16 y y´- 162 y´- 270 - 15 y – 15 x y´= 0, daraus:
y´= [15 y + 270] / [16 y - 15 x – 162]
Wir setzen Zähler und Nenner je null und lösen nach x und y auf.
Ergebnis: x = xM = - 30 , y = yM = - 18 in Übereinstimmung mit
Deinem Resultat.

Zu c)
Die Meinung ist diese:
In der Aufgabe LF 152 hat man bereits einen Brennpunkt F
berechnet: F(20/12/24); confer loco citatato.
Für die Ebene z = 24 , in der die Hyperbel liegt, gilt
einfach: F(20/12).
Die lineare Exzentrizität e ergibt sich als Abstand e = MF;
somit
e^2 = (20 + 30)^2 + (12 + 18)^2 = 2500 + 900 = 3400
e = 10 * sqrt(34)
°°°°°°°°°°°°°°°°

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3278
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 10:37:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Fortsetzung des Kommentars zur Lösung der Aufgabe
LF 153.

Zu d)
Nach erfolgter Parallelverschiebung auf den Mittelpunkt M(-30/-18)
lautet die Gleichung der Hyperbel in den neuen Koordinaten X,Y:
15 X Y – 8 Y^2 = 11250
Die quadratische Form hat die Koeffizienten
A = 0 , B = - 15/2 , C = - 8
Ihre Eigenwerte sind
L1 = -25/2, L2 = 9/2
Die zugehörigen Eigenvektoren in dieser Reihenfolge:
e1 = {3;-5}, e2 = {5;3}

Nach erfolgter Drehung lautet die Gleichung
9/2 u^2 - 25/2 v^2 = 11250.
Daraus ergeben sich die Halbachsen
a = 50, b = 30.

Nochmals e (lineare Exzentrizität):
e^2 = a^2 + b^2 = 2500 + 900 = 3400, wie früher.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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