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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3268 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 10:37: |
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Hi allerseits Die Aufgabe LF 153 ist eine Fortsetzung der Aufgabe LF 152. Sie lautet: Gegeben ist dieselbe Kugel x^2 – 40 x + y^2 – 24 y + z^2 – 18 z + 400 = 0 Mit dem Nullpunkt O als Spitze wird wiederum der Berührungskegel kappa an die Kugel gelegt. Die Kegelfläche wird von der zur (x,y)-Ebene parallelen Ebene z = 24, wie wir wissen, in einer Hyperbel k geschnitten. a) Ermittle die Richtungen der Asymptoten von k. b) Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes von k. c) Berechne die lineare Exzentrizität e der Hyperbel. d) Welches sind die Halbachsen a, b der Hyperbel? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1020 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 21:54: |
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Hi megamath, gleich LF 153 mit hier abhandeln! Setze z=24 in die Gleichung für Tangentialkegel mit Spitze in O ein! 8y^2 - 162y - 270x - 15xy + 5742 = 0 kann man bei a) die enstehende Gleichung durch x^2 dividieren (auch wenn dies wegfällt) ? Dann lim (y/x) für x ad infinitum gleich Steigung? Dann erhalte ich m = 0 und m = 15 / 8 b) M = ( -30 | -18 ) c) e = 10*sqrt(34) d) a = 50 , b = 30 Nach Parallelverschiebung und Drehung erhält man dann die Hyperbel: (x/50)^2 - (y/30)^2 = 1 mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3276 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 09:29: |
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Hi Ferdi Du hast die Aufgabe LF 153 souverän gelöst! Auf die Aufgabe LF 152 komme ich an Ort und Stelle zurück. Ein paar Ergänzungen könnten nützlich sein, besonders für geneigte Leser, die unsere Berechnungen nachvollziehen möchten. Zu a) Die Gleichung ist richtig, die Steigungen der Asymptoten auch Das Verfahren zu ihrer Ermittlung ist in Ordnung. Zu b) Ich erhalte den Mittelpunkt M durch implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung nach x: 16 y y´- 162 y´- 270 - 15 y – 15 x y´= 0, daraus: y´= [15 y + 270] / [16 y - 15 x – 162] Wir setzen Zähler und Nenner je null und lösen nach x und y auf. Ergebnis: x = xM = - 30 , y = yM = - 18 in Übereinstimmung mit Deinem Resultat. Zu c) Die Meinung ist diese: In der Aufgabe LF 152 hat man bereits einen Brennpunkt F berechnet: F(20/12/24); confer loco citatato. Für die Ebene z = 24 , in der die Hyperbel liegt, gilt einfach: F(20/12). Die lineare Exzentrizität e ergibt sich als Abstand e = MF; somit e^2 = (20 + 30)^2 + (12 + 18)^2 = 2500 + 900 = 3400 e = 10 * sqrt(34) °°°°°°°°°°°°°°°° Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3278 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 10:37: |
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Hi Ferdi Fortsetzung des Kommentars zur Lösung der Aufgabe LF 153. Zu d) Nach erfolgter Parallelverschiebung auf den Mittelpunkt M(-30/-18) lautet die Gleichung der Hyperbel in den neuen Koordinaten X,Y: 15 X Y – 8 Y^2 = 11250 Die quadratische Form hat die Koeffizienten A = 0 , B = - 15/2 , C = - 8 Ihre Eigenwerte sind L1 = -25/2, L2 = 9/2 Die zugehörigen Eigenvektoren in dieser Reihenfolge: e1 = {3;-5}, e2 = {5;3} Nach erfolgter Drehung lautet die Gleichung 9/2 u^2 - 25/2 v^2 = 11250. Daraus ergeben sich die Halbachsen a = 50, b = 30. Nochmals e (lineare Exzentrizität): e^2 = a^2 + b^2 = 2500 + 900 = 3400, wie früher. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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