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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3260
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 17:58: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 151
Gegeben wird die Kugel k : x^2+y^2+z^2 +2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0
Beweise, dass die Gleichung des Tangentialkegels mit der Spitze in O
der Kugel lautet:
d * (x^2 + y^2 + z^2) = ( a x + b y + c z ) ^ 2
Wie lautet die Gleichung des Tangentialkegels mit Spitze in P(a/b/c)
für die Kugel x^2 + y ^2 + z^2 = r^2 ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1017
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 20:21: |
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Hi megamath,
ich hab mich mal dran versucht ganz dem Motto nach "Fortes fortuna adiuvat", eine ganz schöne Rechnerei!
zu a)
Kugel (x+a)^2 + (y+b)^2 + (z+c)^2 = a^2+b^2+c^2-d
Die Ebene in dem der Berühkreis liegt lautet hier:
ax + by + cz + d = 0
Der laufende Punkt K des Kreises erfüllt beide Gleichungen!
Die Mantellinien gehen durch O und den laufenden Punkt K des Kreises! Nun betractet man einen laufenden Punkt des Tangentialkegels T (U|V|W), es gilt dann, weil OK eine Ursprungsgerade ist:
U = rx
V = ry
W = rz
Wir haben nun fünf Gleichungen, aus denen wir x,y,z und r eliminieren!
Aus der Kugel erhalten wir:
U^2 + V^2 + W^2 + 2r(aU + bV + cW) + dr^2 = 0
aus der Ebene:
aU + bV + cW +dr = 0 ==> r = - (aU + bV + cW) / d
Setzen wir dies wieder in die Kugel ein:
U^2 + V^2 + W^2 - (aU + bV + cW)^2 / d = 0
oder
d * ( U^2 + V^2 + W^2 ) = ( aU + bV + cW )^2
q.e.d.
zu b) [gleiche Vorgehensweise]
Kugel x^2+y^2+z^2=r^2
Kreisebene: ax + by + cz = r^2
laufender Punkt des Kegels:
U = a + r(x-a)
V = b + r(y-b)
W = c + r(z-c)
eliminiert man auch hieraus x, y, z und r so bekommt man (Fehler vorbehalten, nach der Rechnung):
(r^2-a^2-b^2-c^2)*[(U-a)^2+(V-b)^2+(W-c)^2] = - [a(U-a) + b(V-b) + c(W-c) ]^2
Oder gibts hier weniger rechenintesive Möglichkeiten?
So, das war ein guter Tag heute, viel gemacht, morgen bin ich leider wegen des Wachdienstes in der Kaserne nicht da! Also bis Dienstag!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3264
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 20:32: |
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Hi Ferdi
Ich bin Dir dankbar,dass Du mir die Rechenarbeit abgenommen hast!
Ich komme später auf die Teilaufgabe b) zurück.
Ich empfehle,diese Aufgabe mittels Parallelveschiebung auf a) zurückzuführen.
Guten Wachdienst wünscht Dir
H.R.Moser,megamath
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Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 21:10: |
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Hallo Megamath,
ich komme in b) auf das gleiche Ergebnis wie Ferdi, wenn ich Teil a) folgendermaßen ausnutze:
Seien (x',y',z') := (x,y,z) - (a,b,c) und
d := a^2 + b^2 + c^2 - r^2. Dann liegt die Situation aus a) vor, d. h. es gilt
(a^2 + b^2 + c^2 - r^2) * [(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2] = [a(x-a) + b(y-b) + c(z-c)]^2.
Gruß
Michael |
Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 21:17: |
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Hallo Megamath, hallo Ferdi,
es tut mir leid, wenn ich euch in die Parade gefahren bin. Ich wollte mir die unverdienten Meriten für die alternative Lösung der Teilaufgabe b) nicht aneignen. Ich war nur selbst schon so weit, dass das Ergebnis auf der Hand lag.
Also nichts für ungut
Michael |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3265
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 21:17: |
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Hi Michael
Ja,so muss man es machen.
Es hat sich nicht so viel Rost angesammelt,
wie Du meinst,hihi!
MfG
H.R.Moser,megamath |
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