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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3252
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 10:11: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 148 ist eine hübsche Repetitionsaufgabe
zur Kugel. Sie lässt acht Lösungen zu.
Man könnte meinen, eine davon sollte zu finden sein!
Gesucht wird die Gleichung einer Kugel vom Radius 5,
welche die x-Achse berührt, aus der y-Achse eine Sehne
der Länge 2 ausschneidet und ausserdem die Kugel
x^2 + y^2 + z^2 = 16 orthogonal schneidet.
Hinweis zum orthogonalen Schnitt zweier Kugeln:
siehe bei Aufgabe LF 146 nach !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1010
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 11:51: |
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Hi megamath,
es ist mir ja fast peinlich zu fragen, aber:
Wie kann ich die Bedingung der Sehne der Länge 2 einbauen? Die anderen Bedingungen sind mir klar, aber so was hatte ich noch nie! Gibt es da irgendeinen Satz der weiterhelfen könnte?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3255
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 12:16: |
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Hi Ferdi
Deine Frage ist nahe liegend.
Ich habe die Bedingung so realisiert:
Schnitt der Kugel mit der y –Achse: setze x=z=0.
Es entsteht eine quadratische Gleichung in y.
Berechne die Lösungen y1, y2 ; bilde die Differenz
y1 – y2; ihr Absolutbetrag ist 2.
Ich glaube, das sollte gehen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1011
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 14:30: |
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Hi megamath,
eine mögliche Kugel ist folgende:
x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 2sqrt(17)y + 16 = 0
Mein Weg:
gesuchte Kugel:
(x+A)^2 + (y+B)^2 + (z+C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 - D
1.)orthogonale Bedingung:
2aA + 2bB + 2cC = d + D
a=0 , b=0 , c=0 , d = -16
==> D = 16
2.) Sehnen Bedingung:
(x+A)^2 + (y+B)^2 + (z+C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 - D
(y+B)^2 = B^2 - 16
y1 = sqrt(B^2 - 16) - B
y2 = - [ sqrt(B^2 - 16) + B ]
y1 - y2 = 2sqrt(B^2-16) = 2
B = +-sqrt(17)
3.) Tangenten Bedingung:
(x+A)^2 + (y+sqrt(17))^2 + (z+C)^2 = A^2 + C^2 + 1
(x+A)^2 = A^2 - 16
x^2 + 2Ax + 16 = 0
x-Achse genau dann Tangente wenn nur ein Schnittpunkt( = Berührpunkt ) existiert! Diskriminante = 0
A^2 - 16 = 0 ==> A=+-4
Dann hab ich noch einfach c=0 gesetzt und alles paste!
Kugel dann:
x^2 - 8x + y^2 + 2sqrt(17)y + z^2 + 16 = 0
Diese erfüllt alle gewünschten Bedingungen!
Wie sieht deine Methode aus Megamath? Kommst du schneller an die 8 Lösungen? Ausserdem finde ich das mit c=0 setzen auch ein wenig plump von mir! Darf ich das hier so einfach?
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3256
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 15:21: |
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Hi Fredi
Meine Methode geht wörtlich gleich, mindestens am Anfang
Ich habe mir vorgenommen, mich mit einer einzigen Lösung
zufrieden zu geben; ich benötige die Zeit dringend,
neue Aufgaben zu kreieren , Aufgaben ,die es in sich haben !
Ich bearbeite gerade Nummer LF 153.
Zurück zur Lösung der vorliegenden Aufgabe :
C (nicht klein c) ergibt sich zwingend so:
Da der Radius der gesuchten Kugel mit 5 vorgegeben ist
gilt zunächst
- D + A^2 + B^2 + C^2 = 25,
Aus der Orthogonalität folgt D = 16.
Weiter unten werden A und B bestimmt;
wir setzen A = 4 und B = sqrt(17), (Vorzeichen wahlweise)
Wir ermitteln daraus C ;
Resultat etwa C = sqrt (8)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1012
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 15:34: |
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Hi,
da hab ich wohl einen kleinen Zwischensatz überlesen! Jetzt ist mir alles klar!
LF153? Das hört sich gut an! Freue mich darauf!
mfg |
